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Brahmagupta (polinomi di)

Polinomi  Sequenze 

I polinomi di Brahmagupta sono definiti tramite la ricorrenza: x0(x, y, t) = 1, y0(x, y, t) = 0, xn + 1(x, y, t) = xn(x, y, t)x + yn(x, y, t)ty, yn + 1(x, y, t) = xn(x, y, t)y + yn(x, y, t)x.

 

Sono polinomi a coefficienti interi positivi; i polinomi xn(x, y, t) sono di grado Grado dei polinomi di Brahmagupta xn(x, y, t) e i polinomi yn(x, y, t) sono di grado Grado dei polinomi di Brahmagupta yn(x, y, t). Tutti sono omogenei grado n rispetto a x e y, mentre rispetto a t, xn(x, y, t) è di grado Grado dei polinomi di Brahmagupta xn(x, y, t) rispetto a t e yn(x, y, t) è di grado Grado dei polinomi di Brahmagupta yn(x, y, t) rispetto a t.

 

Sono legati ai numeri di Pell Pn dalla relazione yn(1, 1, 2) = Pn e ai numeri di Pell – Lucas Qn dalla relazione 2xn(1, 1, 2) = Qn.

 

Valgono le seguenti relazioni:

  • Formula per il calcolo dei polinomi di Brahmagupta xn(x, y, t) e Formula per il calcolo dei polinomi di Brahmagupta yn(x, y, t);

  • Derivate parziali dei polinomi di Brahmagupta;

  • Derivate parziali dei polinomi di Brahmagupta.

 

Le tabelle seguenti riportano i primi polinomi di Brahmagupta.

n

xn(x, y, t)

0

1

1

x

2

x2 + y2t

3

x3 + 3txy2

4

x4 + 6tx2y2 + t2y4

5

x5 + 10tx3y2 + 5t2xy4

6

x6 + 15tx4y2 + 15x2y4t2 + t3y6

7

x7 + 21tx5y2 + 35t2x3y4 + 7t3xy6

8

x8 + 28tx6y2 + 70t2x4y4 + 28t3x2y6 + t4y8

9

x9 + 36tx7y2 + 126t2x5y4 + 84t3x3y6 + 9t4xy8

10

x10 + 45tx8y2 + 210t2x6y4 + 210t3x4y6 + 45t4x2y8 + t5y10

11

x11 + 55tx9y2 + 330t2x7y4 + 462t3x5y6 + 165t4x3y8 + 11t5xy10

12

x12 + 66tx10y2 + 495t2x8y4 + 924t3x6y6 + 495t4x4y8 + 66t5x2y10 + t6y12

13

x13 + 78tx11y2 + 715t2x9y4 + 1716t3x7y6 + 1287t4x5y8 + 286t5x3y10 + 13t6xy12

14

x14 + 91tx12y2 + 1001t2x10y4 + 3003t3x8y6 + 3003t4x6y8 + 1001t5x4y10 + 91t6x2y12 + t7y14

15

x15 + 105tx13y2 + 1365t2x11y4 + 5005t3x9y6 + 6435t4x7y8 + 3003t5x5y10 + 455t6x3y12 + 15t7xy14

16

x16 + 120tx14y2 + 1820t2x12y4 + 8008t3x10y6 + 12870t4x8y8 + 8008t5x6y10 + 1820t6x4y12 + 120t7x2y14 + t8y16

17

x17 + 136tx15y2 + 2380t2x13y4 + 12376t3x11y6 + 24310t4x9y8 + 19448t5x7y10 + 6188t6x5y12 + 680t7x3y14 + 17t8xy16

18

x18 + 153tx16y2 + 3060t2x14y4 + 18564t3x12y6 + 43758t4x10y8 + 43758t5x8y10 + 18564t6x6y12 + 3060t7x4y14 + 153t8x2y16 + t9y18

19

x19 + 171tx17y2 + 3876t2x15y4 + 27132t3x13y6 + 75582t4x11y8 + 92378t5x9y10 + 50388t6x7y12 + 11628t7x5y14 + 969t8x3y16 + 19t9xy18

20

x20 + 190tx18y2 + 4845t2x16y4 + 38760t3x14y6 + 125970t4x12y8 + 184756t5x10y10 + 125970t6x8y12 + 38760t7x6y14 + 4845t8x4y16 + 190t9x2y18 + t10y20

 

n

yn(x, y, t)

0

0

1

y

2

2xy

3

3x2y + ty3

4

4x3y + 4txy3

5

5x4y + 10tx2y3 + t2y5

6

6x5y + 20tx3y3 + 6t2xy5

7

7x6y + 35tx4y3 + 21t2x2y5 + t3y7

8

8x7y + 56tx5y3 + 56t2x3y5 + 8t3xy7

9

9x8y + 84tx6y3 + 126t2x4y5 + 36t3x2y7 + t4y9

10

10x9y + 120tx7y3 + 252t2x5y5 + 120t3x3y7 + 10t4xy9

11

11x10y + 165tx8y3 + 462t2x6y5 + 330t3x4y7 + 55t4x2y9 + t5y11

12

12x11y + 220tx9y3 + 792t2x7y5 + 792t3x5y7 + 220t4x3y9 + 12t5xy11

13

13x12y + 286tx10y3 + 1287t2x8y5 + 1716t3x6y7 + 715t4x4y9 + 78t5x2y11 + t6y13

14

14x13y + 364tx11y3 + 2002t2x9y5 + 3432t3x7y7 + 2002t4x5y9 + 364t5x3y11 + 14t6xy13

15

15x14y + 455tx12y3 + 3003t2x10y5 + 6435t3x8y7 + 5005t4x6y9 + 1365t5x4y11 + 105t6x2y13 + t7y15

16

16x15y + 560tx13y3 + 4368t2x11y5 + 11440t3x9y7 + 11440t4x7y9 + 4368t5x5y11 + 560t6x3y13 + 16t7xy15

17

17x16y + 680tx14y3 + 6188t2x12y5 + 19448t3x10y7 + 24310t4x8y9 + 12376t5x6y11 + 2380t6x4y13 + 136t7x2y15 + t8y17

18

18x17y + 816tx15y3 + 8568t2x13y5 + 31824t3x11y7 + 48620t4x9y9 + 31824t5x7y11 + 8568t6x5y13 + 816t7x3y15 + 18t8x y17

19

19x18y + 969tx16y3 + 11628t2x14y5 + 50388t3x12y7 + 92378t4x10y9 + 75582t5x8y11 + 27132t6x6y13 + 3876t7x4y15 + 171t8x2y17 + t9y19

20

20x19y + 1140tx17y3 + 15504t2x15y5 + 77520t3x13y7 + 167960t4x11y9 + 167960t5x9y11 + 77520t6x7y13 + 15504t7x5y15 + 1140t8x3y17 + 20t9xy19

 

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