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Pell – Lucas (numeri di)

Sequenze  Teoria dei numeri 

I numeri di Pell – Lucas costituiscono la sequenza associata alla sequenza di Pell, esattamente come la sequenza di Lucas è associata a quella di Fibonacci.

La sequenza è definita come: Q0 = Q1 = 2, Qn = 2Qn – 1 + Qn – 2.

 

Alcune formule per il calcolo dei numeri di Pell – Lucas (nelle formule seguenti Pn rappresenta un numero di Pell):

Qn = Qn(1), dove Qn(x) è un polinomio di Pell – Lucas;

Qn = 2xn(1, 1, 2), dove xn(x, y, t) è un polinomio di Brahmagupta;

Qn = 2(xPn + Pn – 1);

Qn = Pn + 1 + Pn – 1;

Formula per il calcolo dei numeri di Pell – Lucas;

Formula per il calcolo dei numeri di Pell – Lucas;

Formula per il calcolo dei numeri di Pell – Lucas;

Formula per il calcolo dei numeri di Pell – Lucas;

Formula per il calcolo dei numeri di Pell – Lucas;

Qn + m = Pm– 1Qn + PmQn + 1;

Qn + m = QnQm1 – (–1)mLnm, per nm;

Qn + m = 8PnPm1 + (–1)mLnm, per nm;

 

Formule come quelle per Q2n permettono di calcolare Qn senza dover calcolare tutti i termini precedenti della sequenza, in un numero di passi proporzionale a logn.

 

Alcune formule che coinvolgono numeri di Pell – Lucas:

Qn + m + k + (–1)kQn + mk + (–1)m(Qnm + k + (–1)kQnmk) = QnQmQk, per nm + k;

Qn + m + k – (–1)kQn + mk + (–1)m(Qnm + k – (–1)kQnmk) = 8PnQmPk, per nm + k;

Qn + m + k + (–1)kQn + mk – (–1)m(Qnm + k + (–1)kQnmk) = 8PnPmQk, per nm + k;

Qn + m + k – (–1)kQn + mk – (–1)m(Qnm + k – (–1)kQnmk) = 8QnPmPk, per nm + k;

Formula che coinvolge i numeri di Pell – Lucas;

Formula che coinvolge i numeri di Pell – Lucas;

Formula che coinvolge i numeri di Pell – Lucas;

Formula che coinvolge i numeri di Pell – Lucas;

Formula che coinvolge i numeri di Pell – Lucas.

 

Altre formule che coinvolgono anche i numeri di Pell si trovano alla voce relativa.

 

Alcune proprietà dei numeri di Pell – Lucas::

  • Q(n) / 2P(n) è un’approssimazione di Radice quadrata di 2, che migliora rapidamente al crescere di n.

 

Zhi-Hong Sun dimostrò nel 1998 che se p è un primo maggiore di 3, tale che Simbolo di Legendre (–6 | p) uguale a 1 e quindi rappresentabile (in un unico modo) come a2 + 6b2, se p ≡ 1 mod 3, o come 2a2 + 3b2, se p ≡ 2 mod 3, con a e b non negativi, allora:

  • Congruenza soddisfatta da alcuni numeri di Pell – Lucas, se e solo se b ≡ 0 mod 3;

  • Congruenza soddisfatta da alcuni numeri di Pell – Lucas, se ab mod 3.

 

La tabella seguente mostra i valori di Qn per n fino a 20.

n

Qn

0

2

1

2

2

6

3

14

4

34

5

82

6

198

7

478

8

1154

9

2786

10

6726

11

16238

12

39202

13

94642

14

228486

15

551614

16

1331714

17

3215042

18

7761798

19

18738638

20

45239074

 

La funzione generatrice dei numeri di Pell – Lucas è Funzione generatrice dei numeri di Pell – Lucas.

 

I valori di Qn sono tutti pari, quindi l’unico primo tra essi è Q0 = Q1 = 2. Sono però stati cercati primi tra i valori di Q(n) / 2, che possono essere primi solo se n è primo o una potenza di 2. I minimi casi si hanno per n uguale a: 2, 3, 4, 5, 7, 8, 16, 19, 29, 47, 59, 163, 257, 421, 937, 947, 1493, 1901, 6689, 8087, 9679, 28753, 79043, 129127 (E. W. Weisstein, 2006), 145969 (E. W. Weisstein, 2006), 165799 (E. W. Weisstein, 2006), 168677 (E. W. Weisstein, 2006), 170413 (E. W. Weisstein, 2006), 172243 (E. W. Weisstein, 2007) e nessun altro valore minore di 184042; i primi per n > 20000 sono solo probabilmente primi (E. W. Weisstein, 2009).

 

Nel 1985 Robbins dimostrò che nessun numero di Pell – Lucas è un quadrato.

Nessun numero di Pell – Lucasè un cubo.

tende al rapporto argenteo

Bibliografia

  • Bach, Eric;  Shallit, Jeffrey;  Algorithmic Number Theory, MIT Press, 1997.
  • Flannery, David;  The Square Root of 2, New York, Copernicus Book, 2006 -

    Un’introduzione semplice alle sequenze di Pell e alle approssimazioni per la radice quadrata di 2.

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