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Pell (numeri di)

Sequenze  Teoria dei numeri 

Vi è ampia controversia su chi per primo abbia scoperto un metodo per trovare le soluzioni intere dell’equazione x2ny2 = ±1, detta di Fermat – Pell. Senza alcuna pretesa di dirimere una questione complessa, riporto alcuni fatti.

Già Diofanto (Alessandria, tra il 201 e il 215 – tra il 285 e il 299) aveva considerato l’equazione, in una forma diversa, ma equivalente, e pubblicato varie soluzioni, senza però fornire un metodo generale di soluzione.

Nel 628 Brahmagupta (597 – 668) aveva indicato in Brahma Sphuta Siddhanta un metodo per risolvere l’equazione, almeno per alcuni valori di n, e per trovare infinite soluzioni, data una soluzione particolare.

Jayadeva (circa 850, circa 1000) trovò un metodo valido per qualsiasi valore di n, tanto da risolvere il caso x2 – 61y2 = 1 (il peggiore, per valori di n inferiori a 100: la soluzione minima è x = 1766319049, y = 226153980). Il metodo fu in seguito raffinato da Bhāskara II (Bijapur, India, 1114 – Ujjain, India, 1185) nel suo trattato Bijaganita.

In Europa equazioni del genere furono risolte solo un millennio dopo, probabilmente per la prima volta da Fermat, anche se non è del tutto chiaro quanto fossero generali i suoi metodi. Fermat propose proprio l’equazione succitata come problema a Bernard Frénicle de Bessy e nel 1657 a tutti i matematici.

Ma allora che c’entra John Pell (Southwick, UK, 1/3/1611 – Westminster, UK 12/12/1685)?

Sembra che il suo contributo si limiti all’aver pubblicato le soluzioni di John Wallis e Lord Brouncker del problema di Fermat. Quando Eulero pubblicò il suo lavoro sull’equazione, si premurò, sempre rispettosissimo del lavoro altrui, di citare i risultati precedenti, ma sembra che per errore abbia attribuito a Pell il merito della soluzione (ovviamente non era a conoscenza dei lavori dei matematici indiani).

Alla fine l’equazione divenne nota in Europa come “equazione di Fermat” o “equazione di Fermat – Pell”, ignorando tranquillamente i veri scopritori del metodo di soluzione.

Per finire, la prima dimostrazione rigorosa che se n non è un quadrato, l’equazione x2ny2 = 1 ha infinite soluzioni si deve a Joseph Louis Lagrange.

 

I valori di y che costituiscono le soluzioni dell’equazione x2 – 2y2 = 1, la più semplice della categoria, sono stati chiamati “numeri di Pell” in onore (parzialmente immeritato) di John Pell.

 

La sequenza dei numeri di Pell è definita come: P0 = 0, P1 = 1, Pn = 2Pn – 1 + Pn – 2.

 

Tutte le soluzioni dell’equazione x2 – 2y2 = ±1 possono essere trovate facilmente a partire dalla prima: partendo dalla soluzione xn, yn, se ne genera un’altra come xn + 1 = xn + 2yn, yn + 1 = xn + yn. Per esempio, dalla soluzione minima x0 = 1, y0 = 1 si ottiene la soluzione x1 = 3, y1 = 2, da questa si ottiene la soluzione x2 = 7, y2 = 5 e così via. Si ottengono in questo modo alternativamente le soluzioni dell’equazione x2 – 2y2 = 1 e quelle dell’equazione x2 – 2y2 = –1.

 

Alcune formule per il calcolo dei numeri di Pell (nelle formule seguenti Qn rappresenta un numero di Pell – Lucas):

Pn = Pn(1), dove Pn(x) è un polinomio di Pell;

Pn = Fn(2), dove Fn(x) è un polinomio di Fibonacci;

Pn = yn(1, 1, 2), dove yn(x, y, t) è un polinomio di Brahmagupta;

Pn = Pm + 1Pnm + PmPnm – 1, per n > m;

Pn = PnmQm + (–1)nPn – 2m, per n ≥ 2m;

Formula per il calcolo dei numeri di Pell;

Formula per il calcolo dei numeri di Pell;

Formula per il calcolo dei numeri di Pell;

Formula per il calcolo dei numeri di Pell;

P2n = PnQn;

Formula per il calcolo dei numeri di Pell;

Formula per il calcolo dei numeri di Pell;

Formula per il calcolo dei numeri di Pell;

Pn + m = PnPm + 1 + Pn – 1Pm;

Pn + m = PnQm – (–1)mPnm, per nm;

Formula per il calcolo dei numeri di Pell;

Pnm = (–1)m(PnPm + 1Pn + 1Pm), per nm.

 

Formule come quelle per P2n permettono di calcolare Pn senza dover calcolare tutti i termini precedenti della sequenza, in un numero di passi proporzionale a logn.

 

Alcune formule che coinvolgono numeri di Pell:

Pn + m + Pnm = PnQm, per nm e m pari;

Pn + m + Pnm = QnPm, per nm e m dispari;

Pn + mPnm = QnPm, per nm e m pari;

Pn + mPnm = PnQm, per nm e m dispari;

Pn + m + k + (–1)kPn + mk + (–1)m(Pnm + k + (–1)kPnmk) = PnQmQk, per nm + k;

Pn + m + k – (–1)kPn + mk + (–1)m(Pnm + k – (–1)kPnmk) = QnQmPk, per nm + k;

Pn + m + k + (–1)kPn + mk – (–1)m(Pnm + k + (–1)kPnmk) = QnPmQk, per nm + k;

Pn + m + k – (–1)kPn + mk – (–1)m(Pnm + k – (–1)kPnmk) = 8PnPmPk, per nm + k;

2(P2m + P2m – 1)Pn – 2m = Pn + Pn – 4m, per n ≥ 4m;

2(P2m + P2m + 1)Pn – 2m – 1 = PnPn – 4m – 2, per n ≥ 4m + 2;

Formula che coinvolge i numeri di Pell;

Formula che coinvolge i numeri di Pell;

Formula che coinvolge i numeri di Pell;

Formula che coinvolge i numeri di Pell;

Formula che coinvolge i numeri di Pell;

Formula che coinvolge i numeri di Pell;

Formula che coinvolge i numeri di Pell;

Formula che coinvolge i numeri di Pell;

Formula che coinvolge i numeri di Pell (Zhizheng Zhang, 1998);

Formula che coinvolge i numeri di Pell (Zhizheng Zhang, 1998);

Formula che coinvolge i numeri di Pell e quindi Formula che coinvolge i numeri di Pell;

Formula che coinvolge i numeri di Pell.

 

Altre formule che coinvolgono anche i numeri di Pell – Lucas si trovano alla voce relativa.

 

Alcune proprietà dei numeri di Pell:

Pn è l’intero più vicino a Valore che approssima i numeri di Pell;

Rapporto tra l'n-esimo numero di Pell e l'n-esimo numero di Pell – Lucas tende a Limite cui tende il rapporto tra l'n-esimo numero di Pell e l'n-esimo numero di Pell – Lucas;

(P(2n) / 2)^2 è sia quadrato, che triangolare;

Rapporto tra numeri di Pell consecutivi tende al rapporto argenteo Limite cui tende il rapporto tra numeri di Pell consecutivi, quindi (P(n) – P(n – 1)) / P(n – 1) fornisce ottime approssimazioni di Radice quadrata di 2, con errore inferiore, in valore assoluto, a Limite superiore del valore assoluto dell'errore.

Pn è il determinante di una matrice tridiagonale di ordine n – 1: Matrice il cui determinante è uguale a P(n).

 

Un primo p della forma 4k + 1 divide P((p – 1) / 4) se e solo se è rappresentabile come a2 + 32b2, con a e b interi.

 

Zhi-Hong Sun dimostrò nel 1998 che se p è un primo maggiore di 3, tale che Simbolo di Legendre (–6 | p) uguale a 1 e quindi rappresentabile (in un unico modo) come a2 + 6b2, se p ≡ 1 mod 3, o come 2a2 + 3b2, se p ≡ 2 mod 3, con a e b non negativi, allora:

  • Congruenza soddisfatta da alcuni numeri di Pell, se e solo se b ≡ 0 mod 3;

  • Congruenza soddisfatta da alcuni numeri di Pell, se ab mod 3;

  • Congruenza soddisfatta da alcuni numeri di Pell, se e solo se p è rappresentabile (in un unico modo) come a2 + 216b2, se p ≡ 1 mod 3, o come 8a2 + 8ab + 29b2, se p ≡ 2 mod 3, con a e b non negativi.

 

La tabella seguente mostra i valori di Pn per n fino a 20.

n

Pn

0

0

1

1

2

2

3

5

4

12

5

29

6

70

7

169

8

408

9

985

10

2378

11

5741

12

13860

13

33461

14

80782

15

195025

16

470832

17

1136689

18

2744210

19

6625109

20

15994428

 

La funzione generatrice dei numeri di Pell è Funzione generatrice dei numeri di Pell.

 

Se n è composto, Pn è composto, mentre se n è primo, Pn è talvolta primo, ma non si sa se i primi del genere siano infiniti. I minimi casi si hanno per n uguale a: 2, 3, 5, 11, 13, 29, 41, 53, 59, 89, 97, 101, 167, 181, 191, 523, 929, 1217, 1301, 1361, 2087, 2273, 2393, 8093, 13339, 14033, 23747, 28183, 34429, 36749, 90197 e nessun altro valore minore di 188856; i primi per n > 14000 sono solo probabilmente primi (E. W. Weisstein, 2009).

 

Nel 1985 Robbins dimostrò che gli unici quadrati tra i numeri di Pell sono 0, 1 e 169.

Pethö dimostrò nel 1991 che a parte i casi banali 0 e 1, nessun numero di Pell è un cubo o una potenza superiore.

L’unico numero di Pell triangolare è 1 (W.L. McDaniel, 1996).

Tabelle numeriche

I numeri di Pell fino a P1000.

Bibliografia

  • Bach, Eric;  Shallit, Jeffrey;  Algorithmic Number Theory, MIT Press, 1997.
  • Flannery, David;  The Square Root of 2, New York, Copernicus Book, 2006 -

    Un’introduzione semplice alle sequenze di Pell e alle approssimazioni per la radice quadrata di 2.

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