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Fibonacci gaussiani (numeri di)

Sequenze 

Sono così chiamati i numeri appartenenti a una sequenza ottenuta dalla stessa ricorrenza di quella di Fibonacci, ma iniziando con f0 = i, f1 = 1. Sono quindi tutti interi di Gauss.

 

La definizione può anche essere utilizzata all’indietro, definendo numeri di Fibonacci gaussiani con indice negativo; per questi vale fn = (–1)n(iFn + 1 – iFn) = (–1)ni(fn – ifn – 1).

 

La definizione può anche essere estesa a numeri reali, definendo Formula per l'estensione della definizione dei numeri di Fibonacci gaussiani (vedi funzione Fx), funzione che coincide con la definizione consueta per x intero e preserva la proprietà fx = fx – 1 + fx – 2.

 

Alcune proprietà, analoghe a quelle dei numeri di Fibonacci:

  • fm divide fn se e solo se 2m – 1 divide 2n – 1 (Jordan, 1965);

  • MCD(fn, fm) = fk, dove 2k – 1 = MCD(2n – 1, 2m – 1) (Jordan, 1965);

  • fn = Fn + iFn – 1 e quindi Formula per il quadrato del modulo dei numeri di Fibonacci gaussiani.

 

I numeri di Fibonacci gaussiani hanno inoltre tutte le proprietà dei numeri di Fibonacci generalizzati e per essi valgono le relative formule.

 

Molte altre identità valide per i numeri di Fibonacci gaussiani sono simili a quelle valide per i numeri di Fibonacci.

 

I numeri di Fibonacci gaussiani possono essere calcolati con la formula Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci gaussiani, analoga a quella di Binet per il calcolo dei numeri di Fibonacci.

 

Alcune formule per prodotti e potenze di numeri di Fibonacci gaussiani:

  • Formula che coinvolge numeri di Fibonacci gaussiani (Jordan, 1965);

  • fnln = (1 + 2i)F2n – 1, dove ln indica l’n-esimo numero di Lucas gaussiano (Jordan, 1965);

  • fn + 1fm + 1 + fnfm = (1 + 2i)Fn + m (Jordan, 1965);

  • Formula che coinvolge numeri di Fibonacci gaussiani (Jordan, 1965);

  • Formula che coinvolge numeri di Fibonacci gaussiani (Jordan, 1965);

  • fnfn + 1 = F2n + (–1)ni.

 

Alcune formule per somme di numeri di Fibonacci gaussiani:

  • Formula per la somma di numeri di Fibonacci gaussiani;

  • Formula per la somma di numeri di Fibonacci gaussiani (Jordan, 1965);

  • Formula per la somma di numeri di Fibonacci gaussiani (Jordan, 1965);

  • Formula per la somma di numeri di Fibonacci gaussiani (Jordan, 1965);

  • Formula per la somma di numeri di Fibonacci gaussiani (Jordan, 1965);

  • Formula per la somma di quadrati di numeri di Fibonacci gaussiani (Jordan, 1965).

 

I primi numeri di Fibonacci gaussiani sono riportati nella tabella seguente.

n

fn

0

i

1

1

2

1 + i

3

2 + i

4

3 + 2i

5

5 + 3i

6

8 + 5i

7

13 + 8i

8

21 + 13i

9

34 + 21i

10

55 + 34i

11

89 + 55i

12

144 + 89i

13

233 + 144i

14

377 + 233i

15

610 + 377i

16

987 + 610i

17

1597 + 987i

18

2584 + 1597i

19

4181 + 2584i

20

6765 + 4181i

 

Bibliografia

  • Koshy, Thomas;  Fibonacci and Lucas Numbers with Applications, New York, John Wiley & Sons, 2001.

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