Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

La funzione Fx è l’estensione dei numeri di Fibonacci a indici reali, i cui valori coincidono con essi per x intero e preservano la proprietà Fx = Fx – 1 + Fx – 2.

La funzione è definita come Formula per l'estensione della definizione dei numeri di Fibonacci.

 

La funzione ha infiniti zeri, tutti con x ≤ 0, corrispondenti alle soluzioni dell’equazione φ2x = cosπx.

 

La tabella seguente mostra i 10 massimi zeri della funzione.

–0.1838023597

–1.5707764682

–2.4704268397

–3.5108513847

–4.4957953346

–5.5015970569

–6.4993886828

–7.5002333125

–8.4999108549

–9.5000340464

 

Alla voce frazioni continue si trova un’ottima approssimazione del massimo zero (col segno cambiato).

 

La derivata è Derivata della funzione F.

 

La funzione è positiva per x ≥ 0 e tende a infinito per x tendente a infinito.

E’ sempre crescente per x maggiore di circa 1.6766883726 e ha il flesso con x massimo per x ≈ 3.2314073576; per x maggiore di tale valore la funzione è positiva, crescente e concava.

 

La figura seguente mostra una parte del grafico della funzione.

Grafico della funzione F 

 

In modo analogo una ricorrenza della forma fn = afn – 1 + bfn – 2 può essere estesa a indici reali, preservando la proprietà della definizione, tramite la funzione Formula per l'estensione della definizione delle ricorrenze, per a2 ≠ –4b.

Nel caso dei numeri di Lucas la funzione diviene Formula per l'estensione della definizione dei numeri di Lucas e nel caso di numeri di Fibonacci gaussiani diviene Formula per l'estensione della definizione dei numeri diFormula per l'estensione della definizione dei numeri di Fibonacci gaussiani.

 

Partendo dalle formule Formula per i numeri di Fibonacci e Formula per i numeri di Lucas, sono state considerate estensioni analitiche dei numeri di Fibonacci e Lucas al piano complesso, tramite funzioni definite così: Funzione per l'estensione dei numeri di Fibonacci al piano complesso e Funzione per l'estensione dei numeri di Lucas al piano complesso.

Tali funzioni non sono periodiche e gli unici argomenti reali per i quali assumano valore intero sono gli interi, per i quali vale f(n) = Fn e l(n) = Ln.

Per x reale la parte reale di f(x) coincide con Fx.

 

La funzione f(z) si annulla solo per Zeri della funzione f e la funzione l(z) solo per Zeri della funzione l, nei due casi per k intero.

 

Queste funzioni soddisfano numerose identità, analoghe a quelle dei numeri di Fibonacci e Lucas:

  • f(z + 2) = f(z + 1) + f(z);

  • l(z + 2) = l(z + 1) + l(z);

  • f(z + 1)f(z – 1) – f2(z) = eπzi;

  • l2(z) – 5f2(z) = 4eπzi;

  • f(–z) = –f(z)e–πzi;

  • l(–z) = l(z)e–πzi;

  • f(2z) = f(z)l(z);

  • f(z + w) = f(z)f(w + 1) + f(z – 1)f(w);

  • f(3z) = f3(z + 1) + f3(z) – f3(z – 1).

 

Tramite espansione in serie di Taylor si ottengono le formule Espansione della funzione f in serie di Taylor e Espansione della funzione l in serie di Taylor, che sostituendo z = n, w = n – 1 e z = n, w = 0, ci forniscono altre stupefacenti formule: Formula per i numeri di Fibonacci e Formula per i numeri di Lucas.

 

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