Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Formule
  3. 3. Valori e loro proprietà
  4. 4. Legami con i numeri primi

Quasi tutti gli interi dividono il fattoriale del loro massimo fattore primo; le eccezioni, che includono tutte le potenze, sono un insieme di numeri di densità nulla (proprietà supposta da Erdös nel 1991 e dimostrata da Kastanas nel 1994). Tra gli interi piccoli, tuttavia, le eccezioni sono relativamente frequenti; le prime sono: 4, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 25, 27, 32, 36, 45, 48, 49, 50, 54, 64, 72, 75, 80, 81, 90, 96, 98, 100, 108, 121, 125, 128, 135, 144, 147, 150, 160, 162, 169, 175, 180, 189, 192, 196, 200, 216, 224, 225, 240, 242, 243, 245, 250, 256, 270, 288, 289, 294, 300, 320, 324.

Se N(x) è il numero di eccezioni minori di x, Abkik dimostrò nel 1999 che Somma dei quadrati dei fattoriali dei numeri da 1 a n - 1.

 

La somma di fattoriali consecutivi è un numero primo solo nei casi 0! + 1! = 2 e 1! + 2! = 3. V. fattoriali sinistri.

 

Per le somme di potenze di fattoriali se un primo p divide la somma dei primi p – 1 termini, divide tutti i termini successivi e quindi se si trovasse un tale primo, si dimostrerebbe che i primi di tale forma sono in numero finito. Per questo motivo:

  • la somma dei quadrati dei primi n fattoriali (iniziando da 1!) è un numero primo in un numero finito di casi, perché per n = 1248829, Somma dei quadrati dei fattoriali dei numeri da 1 a n - 1 è multiplo di n; non sono però ancora stati determinati tutti i valori di n per i quali tale somma sia un numero primo;

  • Somma dei fattoriali dei numeri da 1 a n, elevati alla potenza 2m + 1 non è mai primo, tranne per m = 1 e n = 2 (tutti i valori per n > 1 sono multipli di 3);

  • Somma dei fattoriali dei numeri da 1 a n, elevati alla potenza 4m per m non multiplo di 3 può essere primo solo per n < 12 (tutti i valori per n > 11 sono multipli di 13) e in particolare, esclusi i casi riportati nella tabella per m = 1, 2, 4, 7 e 10, per m non multiplo di 3 e non superiore a 32 non si hanno primi;

  • Somma dei fattoriali dei numeri da 1 a n, elevati alla potenza 10m per m dispari può essere primo solo per n < 41 (tutti i valori per n > 40 sono multipli di 41) e in particolare, esclusi i casi riportati nella tabella per m = 1, per m non dispari e non superiore a 5 non si hanno primi;

  • Somma dei fattoriali dei numeri da 1 a n, elevati alla potenza 12m per m non multiplo di 3 può essere primo solo per n < 36 (tutti i valori per n > 35 sono multipli di 37); in particolare e in particolare, esclusi i casi riportati nella tabella per m = 1, per m non multiplo di 3 e non superiore a 8 non si hanno primi.

Inoltre se un primo p divide Somma dei fattoriali dei numeri da 1 a p - 1, elevati alla potenza m, divide anche Somma dei fattoriali dei numeri da 1 a p - 1, elevati alla potenza m + r(p - 1) per qualsiasi valore intero di r.

 

La tabella seguente riassume i primi della forma Somma dei fattoriali dei numeri da 1 a n, elevati alla potenza m noti e per ogni valore di m il minimo primo p che divide tutti i valori della somma per np. L’asterisco indica i primi probabili e il punto interrogativo indica che potrebbero esserci altri primi per valori di n maggiori.

m

Valori di n che producono primi

Primi p < 10658 che dividono la somma per np – 1

1

2

3

2

2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 18, 21, 42, 51, 91, 133, 177, 182, 310, 3175(*), 9566(*), ?

1248829

4

2

13, 23

6

5, 34, 102(*), ?

1091

8

2

13, 9619

10

3, 4, 5, 16, 25

41, 353

12

Nessuno

37, 197

14

26, ? (> 100)

463

16

2, 11

13, 43

18

3, 12

23, 457

20

Nessuno

13, 61

22

? (> 50)

1667

24

Nessuno

37

26

Nessuno

23, 43, 79

28

8

13, 61, 397

30

Nessuno

41, 277

32

Nessuno

13, 61

34

3, ? (> 40)

139

36

37 (> 40)

>218400

38

? (> 40)

46147

40

10

13, 23, 61

42

? (> 40)

587

44

Nessuno

13, 89, 9941

46

4

107

48

Nessuno

23, 37

50

Nessuno

41, 643

 

Le somme dei fattoriali e delle loro potenze da 1 a n a segni alternati hanno attratto l’attenzione di alcuni matematici a caccia di primi con proprietà curiose. Anche per le somme di potenze a segni alternati se un primo p divide la somma dei primi p – 1 termini, divide tutti i termini successivi e quindi se si trovasse un tale primo, si dimostrerebbe che i primi di tale forma sono in numero finito. Per questo motivo:

  • Somma a segni alterni dei fattoriali dei numeri da 1 a n, elevati alla potenza 2m non è mai primo, tranne per m = 1 e n = 2, perché tutti i valori per n > 1 sono multipli di 3;

  • Somma a segni alterni dei fattoriali dei numeri da 1 a n, elevati alla potenza 4m + 3 non è mai primo, tranne per n = 2 (primi di Mersenne) e 3 (per esponenti 31, 91, 459, 499 e nessun altro minore di 1000), perché tutti i valori per n > 3 sono multipli di 5;

  • Somma a segni alterni dei fattoriali dei numeri da 1 a n, elevati alla potenza 6m + 5 non è mai primo, tranne per n = 2 (primi di Mersenne), 3 (per esponenti 191 e nessun altro minore di 1000), 4 (nessun esponente minore di 1000) e 5 (nessun esponente minore di 1000), perché tutti i valori per n > 5 sono multipli di 7;

  • Somma a segni alterni dei fattoriali dei numeri da 1 a n, elevati alla potenza 12m + 9 non è mai primo, tranne per n = 2 (primi di Mersenne), 3, 4, 5, 6 (nessun esponente minore 1000 per questi), perché tutti i valori per n > 11 sono multipli di 13.

Analogamente al caso precedente, se un primo p divide Somma a segni alterni dei fattoriali dei numeri da 1 a p - 1, elevati alla potenza m, divide anche Somma a segni alterni dei fattoriali dei numeri da 1 a p - 1, elevati alla potenza m + r(p - 1) per qualsiasi valore intero di r.

 

La tabella seguente riassume i primi della forma Somma a segni alterni dei fattoriali dei numeri da 1 a n, elevati alla potenza m noti e per ogni valore di m il minimo primo p che divide tutti i valori della somma per np. L’asterisco indica i primi probabili (v.) e il punto interrogativo indica che potrebbero esserci altri primi.

m

Valori di n che producono primi

Primi p < 10658 che dividono la somma per np – 1

1

3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 19, 41, 59, 61, 105, 160, 661, 2653(*), 3069(*), 3943(*), 4053(*), 4998(*), 8275(*), 9158(*), 11164(*), (> 20331)

? (> 1000000, G. Gocić, 1991)

3

2

5

5

2

7, 11, 181

7

2

5, 193

9

Nessuno

13, 37

11

Nessuno

5, 7

13

2

17, 29

15

Nessuno

5, 11, 31, 101, 1291

17

2

7

19

2

5, 107, 7177

21

Nessuno

13, 2621

23

Nessuno

5, 7,

25

Nessuno

11, 197, 263, 631, 3371

27

Nessuno

5, 71, 5407

29

Nessuno

7, 17

31

2, 3

5

33

Nessuno

13

35

Nessuno

5, 7, 11

37

? > 40

647

39

Nessuno

5, 127, 257

41

Nessuno

7, 29

43

Nessuno

5, 6277

45

Nessuno

11, 13, 17, 31, 37, 127

47

Nessuno

5, 7

49

?

> 127726

 

Se si sommano i fattoriali a segni alterni in ordine discendente, iniziando con il segno positivo, come per esempio 5! + 4! – 3! + 2! – 1! = 139, si ottengono numeri primi iniziando da 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 15, 58, 59, 102, 111, 118, 164, 291, 589, 685 e nessun altro valore sino a 1000.

 

Per i primi della forma n! ± 1 vedi primi fattoriali.

 

Gli interi noti, tali che sottraendo tutti i fattoriali inferiori (tranne 1) si ottengano sempre numeri primi sono: 2, 4, 5, 9, 13, 19, 43, 85, 103, 133, 403, 763, 943, 1573, 1603, 2713, 5233, 26023, 37363, 177133, 186043, 276043, 277603, 305863, 968833, 1449313, 1540033, 5854363, 6013873, 26114323, 35088793, 291865753, 724927333, 352028148883 (Giovanni Resta, 2017). Potrebbero essere gli unici.

Bibliografia

  • Adler, Andrew;  Coury, John E.;  The Theory of Numbers: a Text and Source Book of Problems, Londra, Jones and Bartlett Publishers, 1995.
  • Andreescu, Titu;  Andrica, Dorin;  Feng, Zuming;  104 Number Theory Problems, Boston, Birkäuser, 2007 -

    Raccolta di problemi utilizzati per agli allenamenti della squadra statunitense per le Olimpiadi di Matematica.

  • Giblin, Peter;  Primes and Programming, Cambridge University Press, 1993.
  • Honsberger, Ross;  Mathematical Gems III, The Mathematical Association of America,, 1985.
  • Livio, Mario;  L’equazione impossibile, Milano, BUR, 2006.

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