Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Formule
  3. 3. Valori e loro proprietà
  4. 4. Legami con i numeri primi

I valori soddisfano le disuguaglianze:

  • Limiti inferiore e superiore per i valori del logaritmo del fattoriale, ossia Limiti inferiore e superiore per i valori del fattoriale;

  • Limite inferiore per i valori del fattoriale, per n > 0;

  • Limite inferiore per i valori del fattoriale, per n > 0;

  • Limite superiore per i valori del fattoriale, per n > 5;

  • Limiti inferiore e superiore per i valori del fattoriale, dove c ≈ 1.4616321450 è l’unico valore positivo tale che ψ(c) = 0, (Necdet Batir, 2005).

 

Vale inoltre k!nnknn!kkkn, per nk.

 

Il prodotto dei primi n interi, ossia n!, cresce molto più velocemente del loro minimo comune multiplo: quest’ultimo, infatti, non supera e1.02n ≈ 2.7731947640n (Rosser e Schoenfeld, 1962).

 

I valori possono essere approssimati tramite la formula di Stirling Formula di Stirling (pubblicata nel 1730 a Londra nel Methodus Differentialis). L’approssimazione può essere migliorata moltiplicando il risultato per una serie, che al crescere di n converge rapidamente a 1; con due termini l’approssimazione si presenta così: Formula per approssimare i fattoriali.

Un’ottima approssimazione per il logaritmo di n! è Formula per approssimare il logaritmo dei fattoriali.

 

La tabella seguente mostra i primi valori.

n

n!

0

1

1

1

2

2

3

6

4

24

5

120

6

720

7

5040

8

40320

9

362880

10

3628800

11

39916800

12

479001600

13

6227020800

14

87178291200

15

1307674368000

16

20922789888000

17

355687428096000

18

6402373705728000

19

121645100408832000

20

2432902008176640000

 

L’unico numero composto n che non divide (n – 1)! è 4.

 

Si dimostra facilmente che:

  • 2n divide n!, per n > 2;

  • 4n2 divide (2n)!, per n > 2;

  • 2(n + 2) divide (2n + 1)!;

  • (mn)! divide (m + n)!.

 

Legendre dimostrò nel 1808 che la massima potenza di m che divide n! è Formula per la massima potenza di m che divide n! ed è uguale a Formula per la massima potenza di m che divide n!, dove s è la somma delle cifre di n in base m. Per esempio, per trovare la massima potenza di 11 che divide 203!, si rappresenta 203 in base 11, ottenendo 17511, poi si calcola Massima potenza di 11 che divide 203!.

La massima potenza di m che divide n! è anche il numero di zeri finali nella rappresentazione di n! in base m ed è uguale alla massima potenza pl che divide n!, dove pl è la massima potenza di un primo che divide b.

In particolare, il numero di zeri con i quali termina n! (in base 10) è uguale alla massima potenza di 5 che divide n!, ossia uguale a Formula per la massima potenza di 10 che divide n!. Per esempio, il numero di zeri finali nella rappresentazione di n! in base 12 è uguale alla massima potenza 22 che divide n!.

Tale numero non può essere un qualsiasi intero: non vi sono fattoriali che terminano con 5, 11, 17, 23, 29, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 61, 67, 73, 79, 85, 91, 92, 98 zeri. Per esempio, 24! termina con 4 zeri, mentre 25! termina con 6; dato che il numero di zeri è è una funzione non decrescente di n, il 5 viene “saltato” e non può comparire.

Qui trovate l'elenco dei numeri inferiori a 5000 che non possono essere il numero di zeri finali di un fattoriale in base 10.

 

A partire dal teorema di Legendre, si dimostrano facilmente (si veda 104 Number Theory Problems) altre proprietà come:

  • m!n!m divide (mn)!;

  • m!n!(m + n)! divide (2m)!(2n)!.

 

Per n > 1, n! non è mai una potenza.

 

Erdös e Oblath dimostrarono nel 1937 che non esistono soluzioni intere dell’equazione n! = xp ± yp, con p primo dispari e x e y primi tra loro. Dato che x2k ± y2k = (x2)k ± (y2)k, i casi con esponenti pari si riducono o al caso con esponente dispari o al caso con esponente uguale a una potenza di 2.

Peraltro nessun fattoriale è uguale a una somma di quadrati, tranne 0! = 1! = 1 = 02 + 12, 2! = 2 = 12 + 12 e 6! = 720 = 242 + 122, mentre tutti i fattoriali maggiori di 3! sono esprimibili come differenza di quadrati. Per esempio:

4! = 24 = 52 – 12 = 72 – 52;

5! = 120 = 112 – 12 = 132 – 72 = 172 – 132 = 292 – 312;

6! = 720 = 272 – 32 = 282 – 82 = 292 – 112 = 362 – 242 = 412 – 312 = 492 – 412 = 632 – 572 = 922 – 882 = 1812 – 1792.

Non so se siano stati trovati fattoriali uguali a differenze di quarte potenze o se ne sia stata dimostrata l’impossibilita.

 

Gli unici fattoriali che siano anche triangolari sono 0! = 1! = 1 = T1, 3! = 6 = T3 e 5! = 120 = T15.

 

Può un fattoriale essere il prodotto di altri fattoriali maggiori di 1? Esistono infinite soluzioni banali: se n = m!, allora n! = (n – 1)!m!; per esempio, 24! = 23!4!. A parte queste, si conoscono solo i casi 9! = 7!3!3!2!, 10! = 7!6! = 7!5!3! e 16! = 14!5!2!. Molti matematici sono convinti che non esistano altre possibilità; per ora questa congettura è stata verificata sino a 18160!.

L’unica soluzione per n!(n + 1)! = m! è 6!7! = 10!; una dimostrazione semplice ed elegante si trova in Mathematical Gems III.

 

n! + 1 è un quadrato se n = 4, n = 5 o n = 7 (v. anche numeri di Brown) e probabilmente per nessun altro valore di n (problema di Brocard o congettura di Brocard), ma non è stato dimostrato; se esiste un altro valore, dev’essere superiore a un miliardo (B.C. Berndt e W.F. Galway).

 

Nel 1996 Dabrowski dimostrò che per ogni valore di k esiste solo un numero finito di valori per i quali n! + k sia un quadrato. Se k è un quadrato, la dimostrazione suppone vera una forma debole della congettura “abc”.

Sembra che siano anche molto rari i casi in cui n! + 1 è multiplo di un quadrato: oltre a quelli indicati si conoscono solo 12! + 1 (multiplo di 132), 23! + 1 (multiplo di 472), 229! + 1 (multiplo di 6132) e 562! +1 (multiplo di 5632).

Altrettanto rari sono i casi in cui n! – 1 è multiplo di un quadrato: si conoscono solo i casi 9! – 1 (multiplo di 112), 105! – 1 (multiplo di 1072) e 112! – 1 (multiplo di 5712).

 

Gli unici valori per i quali n! – 1 sia un quadrato sono 1 e 2.

 

n! + 1 non è mai un cubo o una potenza superiore.

 

L’unica soluzione dell’equazione (n – 1)! + 1 = nk è n = 4, k = 2 (Liouville).

 

Se p è primo, (p – 1)! + 1 è primo o potenza di un primo solo se p è 2, 3 o 5.

 

n! + k è primo o potenza di un primo con 2 ≤ kn solo in cinque casi: n = 2, k = 2; n = 3, k = 2; n = 3, k = 3; n = 4, k = 3; n = 5, k = 5.

 

Erdös e Stewart supposero che le uniche soluzioni intere dell’equazione n! + 1 uguale al prodotto di potenze dei due primi immediatamente superiori a n, con pk – 1n < pk, siano: 1! + 1 = 2, 2! + 1 = 3, 3! + 1 = 7, 4! + 1 = 25 = 52, 5! + 1 = 121 = 72. In altri termini, questi potrebbero essere gli unici casi nei quali n! + 1 sia il prodotto di potenze dei due primi consecutivi immediatamente superiori a n (v. congettura di Erdös e Stewart).

 

La somma dei primi n fattoriali è un quadrato solo per n = 1 e n = 3 (Koshy, 2002).

 

Ogni numero può essere espresso in un unico modo in base fattoriale, ossia come Formula per la rappresentazione di un numero in base fattoriale con 0 ≤ ann. Per esempio, 21 = 1 • 1! + 1 · 2! + 3 • 3! = 113 in base fattoriale.

 

E’ molto raro che una potenza possa essere espressa come somma di fattoriali distinti; gli unici quadrati inferiori a 21! uguali a somme di fattoriali distinti sono:

  • 22 = 0! + 1! + 2!;

  • 32 = 1! + 2! + 3!;

  • 52 = 1! + 4!;

  • 112 = 1! + 5! ;

  • 122 = 4! + 5!;

  • 272 = 1! + 2! + 3! +6!;

  • 292 = 1! + 5! + 6!;

  • 712 = 1! + 7!;

  • 722 = 4! + 5! + 7!;

  • 2132 = 1! + 2! + 3! + 7! + 8!;

  • 2152 = 1! + 4! + 5! + 6! + 7! + 8!;

  • 6032 = 1! + 2! + 3! + 6! + 9!;

  • 6352 = 1! + 4! + 8! + 9!;

  • 19172 = 1! + 2! + 3! + 6! + 7! + 8! + 10!:

  • 11838932 = 1! + 2! + 3! + 7! + 8! + 9! + 10! + 11! + 12! + 13! + 14! + 15!.

Le altre potenze note uguali a somme di fattoriali distinti sono:

  • 23 = 2! + 3!;

  • 33 = 1! + 2! + 4!;

  • 25 = 2! + 3! + 4!;

  • 27 = 2! + 3! + 5!;

  • 36 = 93 = 272 = 1! + 2! + 3! + 6!.

Non si conoscono altre potenze esprimibili come somma di fattoriali distinti; se esistono, la base è maggiore di 109 o l’esponente è maggiore di 10 (M. Fiorentini, 2012).

 

Ogni intero minore di n! può essere espresso come somma di meno di n divisori distinti di n!

 

Nel 2014 Zhi-Wei Sun avanzò le congetture che per ogni primo p > 7 esista un primo q < p / 2, tale che q! mod p sia una radice primitiva di p e che per ogni primo p > 3 esista un numero n, tale che n, 2n – 1 e (n – 1)! mod p sono radici primitive di p.

 

In qualsiasi base gli interi uguali alla somma dei fattoriali delle loro cifre sono in numero finito; in base 10 gli unici sono: 1, 2, 145 e 40585 (scoperto da R. Dougherty, 1964); v. numeri curiosi.

 

John E. Maxfield dimostrò che data una qualsiasi sequenza di cifre, di qualunque lunghezza, esiste almeno un fattoriale che inizia con quella sequenza e quindi ne esistono infiniti.

Bibliografia

  • Adler, Andrew;  Coury, John E.;  The Theory of Numbers: a Text and Source Book of Problems, Londra, Jones and Bartlett Publishers, 1995.
  • Andreescu, Titu;  Andrica, Dorin;  Feng, Zuming;  104 Number Theory Problems, Boston, Birkäuser, 2007 -

    Raccolta di problemi utilizzati per agli allenamenti della squadra statunitense per le Olimpiadi di Matematica.

  • Giblin, Peter;  Primes and Programming, Cambridge University Press, 1993.
  • Honsberger, Ross;  Mathematical Gems III, The Mathematical Association of America,, 1985.
  • Livio, Mario;  L’equazione impossibile, Milano, BUR, 2006.

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