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Morgan-Voyce (polinomi di)

Polinomi 

I polinomi di Morgan-Voyce sono definiti tramite la ricorrenza: b0(x) = B0(x) = 1, bn(x) = xBn – 1(x) + bn – 1(x), Bn(x) = (x + 1)Bn – 1(x) + bn – 1(x).

 

Una ricorrenza alternativa è: b0(x) = B0(x) = 1, b1(x) = x + 1, B1(x) = x + 2, bn(x) = (x+ 2)bn – 1(x) – bn – 2(x), Bn(x) = (x+ 2)Bn – 1(x) – Bn – 2(x).

 

Prendono il nome da A.M. Morgan-Voyce.

Sono polinomi di grado n a coefficienti interi positivi; il coefficiente del termine di grado massimo è 1, mentre il coefficiente del termine di grado minimo è 1 per bn(x) e n per Bn(x).

 

Sono legati ai polinomi di Fibonacci dalle relazioni bn(x2) = F2n + 1(x) e Formula che lega i polinomi di Morgan – Voyce a quelli di Fibonacci e ai numeri di Fibonacci dalle relazioni bn(1) = F2n + 1 e Bn(1) = F2n + 2.

Alcune formule che coinvolgono polinomi di Morgan-Voyce:

  • bn(x) = Bn(x) – Bn – 1(x) e xBn(x) = bn + 1(x) – bn – 1(x);

  • Formula per il calcolo dei polinomi di Morgan – Voyce e Formula per il calcolo dei polinomi di Morgan – Voyce;
  • Formula per il calcolo dei polinomi di Morgan – Voyce;

  • Formula che coinvolge i polinomi di Morgan – Voyce e Formula che coinvolge i polinomi di Morgan – Voyce, dove Formula per il valore di θ, per –4 ≤ x ≤ 0;

  • Formula che coinvolge i polinomi di Morgan – Voyce e Formula che coinvolge i polinomi di Morgan – Voyce, dove Formula per il valore di θ, per x ≥ 0;

  • Bn + 1(x) – Bn – 1(x) = bn + 1(x) + bn(x) (Swamy, 1966);
  • Bn + m(x) = Bn(x)Bm(x) – Bn – 1(x)Bm – 1(x) e in particolare B2n(x) = Bn(x)2Bn – 1(x)2 e B2n – 1(x) = Bn – 1(x)(Bn(x) – Bn – 2(x));

  • bn + m(x) = Bn(x)bm(x) – Bn – 1(x)bm – 1(x) (Swamy, 1966) e in particolare b2n(x) = Bn(x)bn(x) – Bn – 1(x)bn – 1(x) e b2n + 1(x) = Bn(x)bn + 1(x) – Bn – 1(x)bn(x);

  • bn + 1(x)bn – 1(x) – bn(x)2 = x e Bn + 1(x)Bn – 1(x) – Bn(x)2 = –1;

  • Formula che coinvolge i polinomi di Morgan – Voyce (Swamy, 1966);

  • Formula che coinvolge i polinomi di Morgan – Voyce (Swamy, 1966);

  • Formula che coinvolge i polinomi di Morgan – Voyce (Swamy, 1966);

  • b2n(x) – b2n – 1(x) = bn(x)2bn – 1(x)2 (Swamy, 1966).

 

Alcune formule per somme di polinomi di Morgan-Voyce:

  • Serie che coinvolge i polinomi di Morgan – Voyce (Swamy, 1966);
  • Serie che coinvolge i polinomi di Morgan – Voyce (Swamy, 1966);
  • Serie che coinvolge i polinomi di Morgan – Voyce (Swamy, 1966);
  • Serie che coinvolge i polinomi di Morgan – Voyce (Swamy, 1966);
  • Serie che coinvolge i polinomi di Morgan – Voyce (Swamy, 1966).

 

Data la matrice Valore della matrice Q, si ha Formula che lega i polinomi di Morgan – Voyce alle potenze della matrice Q e Formula che lega i polinomi di Morgan – Voyce alle potenze della matrice Q.

 

Il determinante di una matrice tridiagonale di ordine n del tipo Matrice il cui determinante è un polinomio di Morgan – Voyce è Bn(x).

 

bn(x) si annulla per Valori per i quali si annullano i polinomi di Morgan – Voyce e Bn(x) si annulla per Valori per i quali si annullano i polinomi di Morgan – Voyce, per k intero e 0 ≤ k < n, quindi gli zeri dei polinomi di entrambi i tipi sono reali, negativi e distinti.

 

bn(x) è irriducibile se e solo se 2n + 1 è primo.

 

bn(x) è soluzione dell’equazione differenziale x(x + 4)y” + 2(x + 1)y’ – n(n + 1)y = 0 e Bn(x) è soluzione dell’equazione differenziale x(x + 4)y” + 3(x + 2)y’ – n(n + 2)y = 0.

 

Le funzioni generatrici dei polinomi di Morgan-Voyce sono date da Funzione generatrice dei polinomi di Morgan – Voyce e Funzione generatrice dei polinomi di Morgan – Voyce.

 

Le figure seguenti mostrano parte del grafico dei primi polinomi di Morgan-Voyce.

 

Grafico dei primi polinomi di Morgan – Voyce

 

Grafico dei primi polinomi di Morgan – Voyce

 

 

Le tabelle seguenti riportano i primi polinomi di Morgan – Voyce.

n

bn(x)

0

1

1

x + 1

2

x2 + 3x + 1

3

x3 + 5x2 + 6x + 1

4

x4 + 7x3 + 15x2 + 10x + 1

5

x5 + 9x4 + 28x3 + 35x2 + 15x + 1

6

x6 + 11x5 + 45x4 + 84x3 + 70x2 + 21x + 1

7

x7 + 13x6 + 66x5 + 165x4 + 210x3 + 126x2 + 28x + 1

8

x8 + 15x7 + 91x6 + 286x5 + 495x4 + 462x3 + 210x2 + 36x + 1

9

x9 + 17x8 + 120x7 + 455x6 + 1001x5 + 1287x4 + 924x3 + 330x2 + 45x + 1

10

x10 + 19x9 + 153x8 + 680x7 + 1820x6 + 3003x5 + 3003x4 + 1716x3 + 495x2 + 55x + 1

11

x11 + 21x10 + 190x9 + 969x8 + 3060x7 + 6188x6 + 8008x5 + 6435x4 + 3003x3 + 715x2 + 66x + 1

12

x12 + 23x11 + 231x10 + 1330x9 + 4845x8 + 11628x7 + 18564x6 + 19448x5 + 12870x4 + 5005x3 + 1001x2 + 78x + 1

13

x13 + 25x12 + 276x11 + 1771x10 + 7315x9 + 20349x8 + 38760x7 + 50388x6 + 43758x5 + 24310x4 + 8008x3 + 1365x2 + 91x + 1

14

x14 + 27x13 + 325x12 + 2300x11 + 10626x10 + 33649x9 + 74613x8 + 116280x7 + 125970x6 + 92378x5 + 43758x4 + 12376x3 + 1820x2 + 105x + 1

15

x15 + 29x14 + 378x13 + 2925x12 + 14950x11 + 53130x10 + 134596x9 + 245157x8 + 319770x7 + 293930x6 + 184756x5 + 75582x4 + 18564x3 + 2380x2 + 120x + 1

16

x16 + 31x15 + 435x14 + 3654x13 + 20475x12 + 80730x11 + 230230x10 + 480700x9 + 735471x8 + 817190x7 + 646646x6 + 352716x5 + 125970x4 + 27132x3 + 3060x2 + 136x + 1

17

x17 + 33x16 + 496x15 + 4495x14 + 27405x13 + 118755x12 + 376740x11 + 888030x10 + 1562275x9 + 2042975x8 + 1961256x7 + 1352078x6 + 646646x5 + 203490x4 + 38760x3 + 3876x2 + 153x + 1

18

x18 + 35x17 + 561x16 + 5456x15 + 35960x14 + 169911x13 + 593775x12 + 1560780x11 + 3108105x10 + 4686825x9 + 5311735x8 + 4457400x7 + 2704156x6 + 1144066x5 + 319770x4 + 54264x3 + 4845x2 + 171x + 1

19

x19 + 37x18 + 630x17 + 6545x16 + 46376x15 + 237336x14 + 906192x13 + 2629575x12 + 5852925x11 + 10015005x10 + 13123110x9 + 13037895x8 + 9657700x7 + 5200300x6 + 1961256x5 + 490314x4 + 74613x3 + 5985x2 + 190x + 1

20

x20 + 39x19 + 703x18 + 7770x17 + 58905x16 + 324632x15 + 1344904x14 + 4272048x13 + 10518300x12 + 20160075x11 + 30045015x10 + 34597290x9 + 30421755x8 + 20058300x7 + 9657700x6 + 3268760x5 + 735471x4 + 100947x3 + 7315x2 + 210x + 1

 

n

Bn(x)

0

1

1

x + 2

2

x2 + 4x + 3

3

x3 + 6x2 + 10x + 4

4

x4 + 8x3 + 21x2 + 20x + 5

5

x5 + 10x4 + 36x3 + 56x2 + 35x + 6

6

x6 + 12x5 + 55x4 + 120x3 + 126x2 + 56x + 7

7

x7 + 14x6 + 78x5 + 220x4 + 330x3 + 252x2 + 84x + 8

8

x8 + 16x7 + 105x6 + 364x5 + 715x4 + 792x3 + 462x2 + 120x + 9

9

x9 + 18x8 + 136x7 + 560x6 + 1365x5 + 2002x4 + 1716x3 + 792x2 + 165x + 10

10

x10 + 20x9 + 171x8 + 816x7 + 2380x6 + 4368x5 + 5005x4 + 3432x3 + 1287x2 + 220x + 11

11

x11 + 22x10 + 210x9 + 1140x8 + 3876x7 + 8568x6 + 12376x5 + 11440x4 + 6435x3 + 2002x2 + 286x + 12

12

x12 + 24x11 + 253x10 + 1540x9 + 5985x8 + 15504x7 + 27132x6 + 31824x5 + 24310x4 + 11440x3 + 3003x2 + 364x + 13

13

x13 + 26x12 + 300x11 + 2024x10 + 8855x9 + 26334x8 + 54264x7 + 77520x6 + 75582x5 + 48620x4 + 19448x3 + 4368x2 + 455x + 14

14

x14 + 28x13 + 351x12 + 2600x11 + 12650x10 + 42504x9 + 100947x8 + 170544x7 + 203490x6 + 167960x5 + 92378x4 + 31824x3 + 6188x2 + 560x + 15

15

x15 + 30x14 + 406x13 + 3276x12 + 17550x11 + 65780x10 + 177100x9 + 346104x8 + 490314x7 + 497420x6 + 352716x5 + 167960x4 + 50388x3 + 8568x2 + 680x + 16

16

x16 + 32x15 + 465x14 + 4060x13 + 23751x12 + 98280x11 + 296010x10 + 657800x9 + 1081575x8 + 1307504x7 + 1144066x6 + 705432x5 + 293930x4 + 77520x3 + 11628x2 + 816x + 17

17

x17 + 34x16 + 528x15 + 4960x14 + 31465x13 + 142506x12 + 475020x11 + 1184040x10 + 2220075x9 + 3124550x8 + 3268760x7 + 2496144x6 + 1352078x5 + 497420x4 + 116280x3 + 15504x2 + 969x + 18

18

x18 + 36x17 + 595x16 + 5984x15 + 40920x14 + 201376x13 + 736281x12 + 2035800x11 + 4292145x10 + 6906900x9 + 8436285x8 + 7726160x7 + 5200300x6 + 2496144x5 + 817190x4 + 170544x3 + 20349x2 + 1140x + 19

19

x19 + 38x18 + 666x17 + 7140x16 + 52360x15 + 278256x14 + 1107568x13 + 3365856x12 + 7888725x11 + 14307150x10 + 20030010x9 + 21474180x8 + 17383860x7 + 10400600x6 + 4457400x5 + 1307504x4 + 245157x3 + 26334x2 + 1330x + 20

20

x20 + 40x19 + 741x18 + 8436x17 + 66045x16 + 376992x15 + 1623160x14 + 5379616x13 + 13884156x12 + 28048800x11 + 44352165x10 + 54627300x9 + 51895935x8 + 37442160x7 + 20058300x6 + 7726160x5 + 2042975x4 + 346104x3 + 33649x2 + 1540x + 21

 

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