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Jacobsthal – Lucas (numeri di)

Sequenze 

Si chiamano “numeri di Jacobsthal – Lucas” i numeri ottenuti dalla ricorrenza jn = jn – 1 + 2jn – 2, con le condizioni iniziali j0 = 2, j1 = 1.

Il nome deriva dal fatto che rispetto ai numeri di Jacobsthal cambia solo il primo termine della ricorrenza, che è 2 invece di 0, esattamente come l’unica differenza tra i numeri di Lucas e quelli di Fibonacci è che il primo termine della ricorrenza è 2 invece di 0.

 

Si possono ottenere da una delle seguenti formule:

jn + 1 = 2jn – 3(–1)n;

jn = 2n + (–1)n;

jn = jn(1), dove jn(x) è un polinomio di Jacobsthal – Lucas;

Formula per il calcolo dei numeri di Jacobsthal – Lucas, dove Fn(x) è un polinomio di Fibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di Jacobsthal – Lucas.

 

Alcune proprietà:

jn + 1 – 2jn = 3(–1)n + 1;

Formula per la somma dei numeri di Jacobsthal – Lucas;

Formula di Simson (formula di Simson).

 

Alcune proprietà che li legano ai numeri di Jacobsthal Jn:

jn = Jn + 1 + 2Jn – 1 = 3Jn + 2(–1)n;

3Jn + jn = 2n + 1;

9Jn = jn + 1 + 2jn – 1;

Jn + jn = 2Jn + 1;

jn + 1 + jn = 3(Jn + 1 + Jn) = 3 · 2n;

jn + 1jn = 3(Jn + 1Jn) + 4(–1)n + 1 = 2n + 2(–1)n + 1;

2jn + 1 + jn – 1 = 3(2Jn + 1 + Jn – 1) + 6(–1)n + 1;

jn + k + jnk = 3(Jn + k + Jnk) + 4(–1)n + k = 2nk(22k + 1) + 2(–1)n + k;

jn + kjnk = 3(Jn + k + Jnk) = 2nk(22k – 1);

Jnjn = J2n;

Jmjn + Jnjm = 2Jm + n;

JmjnJnjm = (–1)n2n + 1Jmn, per mn;

jmjn + 9JnJm = 2jm + n;

jmjn – 9JnJm = (–1)n2n + 1jmn, per mn;

Formula che coinvolge numeri di Jacobsthal – Lucas e numeri di Jacobsthal;

Formula che coinvolge numeri di Jacobsthal – Lucas e numeri di Jacobsthal;

Formula che coinvolge numeri di Jacobsthal – Lucas e numeri di Jacobsthal.

 

La funzione generatrice è: Funzione generatrice dei numeri di Jacobsthal – Lucas.

 

La tabella seguente riporta i numeri di Jacobsthal – Lucas fino a j20.

n

jn

0

2

1

1

2

5

3

7

4

17

5

31

6

65

7

127

8

257

9

511

10

1025

11

2047

12

4097

13

8191

14

16385

15

32767

16

65537

17

131071

18

262145

19

524287

20

1048577

 

L’unico numero di Jacobsthal – Lucas che sia un numeri triangolare è T1 = j1 = 1 (Thomas Koshy e Zhenguang Gao, 2012).

 

I numeri di Jacobsthal – Lucas primi sono i primi di Mersenne e i primi di Fermat; non è noto se siano infiniti.

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