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Jacobsthal (numeri di)

Matematica combinatoria  Sequenze 

Si chiamano “numeri di Jacobsthal”, in onore di Ernst Erich Jacobsthal (Berlino, 16/10/1882 –Überlingen, 6/2/1965) i numeri ottenuti dalla ricorrenza Jn = Jn – 1 + 2Jn – 2, con le condizioni iniziali J0 = 0, J1 = 1.

 

Rappresentano il numero di composizioni di n che terminano con una parte dispari.

Per esempio, vi sono J4 = 5 composizioni del genere di 4:

  • 1 + 3,

  • 3 + 1,

  • 2 + 1 + 1,

  • 1 + 2 + 1,

  • 1 + 1 + 1 + 1.

 

Rappresentano il numero di composizioni di n + 1 che terminano con una parte pari.

Per esempio, vi sono J4 = 5 composizioni del genere di 5:

  • 1 + 4,

  • 3 + 2,

  • 2 + 1 + 2,

  • 1 + 2 + 2,

  • 1 + 1 + 1 + 2.

 

Rappresentano il numero di sequenze di 0, 1 e 2 di lunghezza n – 2 che non contengano due cifre consecutivi diverse da 0.

Per esempio, vi sono J5 = 11 sequenze del genere di 3 cifre: 000, 001, 002, 010, 020, 100, 101, 102, 200, 201, 202.

 

Rappresentano il numero di modi per ricoprire un rettangolo 2 × (n – 1) con una qualsiasi combinazione di rettangoli 1 × 2 e quadrati 2 × 2, contando separatamente rotazioni e riflessioni.

Per esempio, un rettangolo 2 × 4 può essere ricoperto in J5 = 11 modi, come mostra la figura seguente.

 

Modi per ricoprire un rettangolo 2 × 4 con una combinazione di rettangoli 1 × 2 e quadrati 2 × 2

 

 

Rappresentano il numero di modi per ricoprire un rettangolo 3 × (n – 1) con una qualsiasi combinazione di quadrati 1 × 1 e 2 × 2, contando separatamente rotazioni e riflessioni.

Per esempio, un rettangolo 3 × 4 può essere ricoperto in J5 = 11 modi, come mostra la figura seguente.

 

Modi per ricoprire un rettangolo 2 × 4 con una combinazione di rettangoli 1 × 2 e quadrati 2 × 2

 

 

I numeri di Jacobsthal si possono calcolare con una delle seguenti formule:

Jn + 1 = 2Jn +(–1)n;

Jn + 1 = 2nJn;

Jn = Jn(1), dove Jn(x) è un polinomio di Jacobsthal;

Formula per il calcolo dei numeri di Jacobsthal, dove Fn(x) è un polinomio di Fibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di Jacobsthal, quindi Jn è l’intero più vicino a Formula approssimata per il calcolo dei numeri di Jacobsthal e Formula per la crescita asintotica dei numeri di Jacobsthal;

Formula per il calcolo dei numeri di Jacobsthal.

 

Alcune proprietà:

Jn + 1 + Jn = 3 • 2n;

Formula per la differenza di numeri di Jacobsthal;

Jn + 1 – 2Jn = (–1)n;

Formula per la somma di numeri di Jacobsthal;

Formula per la differenza di numeri di Jacobsthal;

Formula per la somma dei numeri di Jacobsthal;

Formula di Simson (formula di Simson);

Formula per il prodotto di numeri di Jacobsthal consecutivi per n pari e Formula per il prodotto di numeri di Jacobsthal consecutivi per n dispari, dove Tn è un numero triangolare;

Formula che coinvolge numeri di Jacobsthal;

se m + n è dispari, Jm + Jn si può esprimere come somma di due potenze di 2, una con esponente pari, l’altra con esponente dispari; per esempio, J8 + J11 = 85 + 683 = 768 = 29 + 28;

un intero è un numero di Jacobsthal se e solo se è radice di un’equazione della forma 9x(xk) + (k – 1)(2k + 1), con k potenza di 4;

Jn è il numero di multipli di 3 compresi tra 2n e 2n + 1.

 

La funzione generatrice è: Funzione generatrice dei numeri di Jacobsthal.

 

La tabella seguente riporta i numeri di Jacobsthal fino a J20.

n

Jn

0

0

1

1

2

1

3

3

4

5

5

11

6

21

7

43

8

85

9

171

10

341

11

683

12

1365

13

2731

14

5461

15

10923

16

21845

17

43691

18

87381

19

174763

20

349525

 

Gli unici numeri di Jacobsthal che siano numeri triangolari sono: J1 = J2 = T1 = 1, J3 = T2 = 3, J6 = T6 =21 e J9 = T18 = 171 (Thomas Koshy e Zhenguang Gao, 2012).

 

Tranne J4 = 5, tutti i numeri di Jacobsthal primi sono primi di Wagstaff e hanno indice primo. Viceversa non tutti i numeri con indice primo sono primi; la prima eccezione è J29 = 178956971 = 59 • 3033169.

Non è noto se vi siano infiniti numeri di Jacobsthal primi; i minimi primi sono: 3, 5, 11, 43, 683, 2731, 43691, 174763, 2796203, 715827883, 2932031007403, 768614336404564651, 201487636602438195784363, 845100400152152934331135470251, 56713727820156410577229101238628035243 (Judson D. Neer, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

I primi noti hanno indice: 3, 4, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 79, 101, 127, 167, 191, 199, 313, 347, 701, 1709, 2617, 3539, 5807, 10501, 10691, 11279, 12391, 14479, 42737, 83339, 95369, 117239, 127031, 138937, 141079, 267017, 269987, 374321 (Paul Barry e Alexander Adamchuk, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

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