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Primi di Wagstaff

Teoria dei numeri 

Nel 1990 François Morain nel trattare la nuova congettura di Mersenne propose il nome di “primi di Wagstaff” per i primi della forma W(p) = (2^p + 1) / 3, in onore di Samuel S. Wagstaff Jr., uno dei matematici che proposero la congettura.

 

Si dimostra facilmente che p dev’essere a sua volta un primo dispari perché Wp sia primo.

 

I primi di Wagstaff minori di 1030 sono: 3, 11, 43, 683, 2731, 43691, 174763, 2796203, 715827883, 2932031007403, 768614336404564651, 201487636602438195784363, 845100400152152934331135470251.

 

I primi di Wagstaff noti si ottengono per p uguale a: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 79, 101, 127, 167, 191, 199, 313, 347, 701, 1709, 2617, 3539, 5807, 10501, 10691, 11279, 12391, 14479, 42737, 83339, 95369, 117239, 127031, 138937, 141079, 267017, 269987, 374321 (H. Lifchitz e R. Lifchitz, 2000), 986191 (V. Diepeveen, 2008), 4031399 (Tony Reix, 2010), 13347311 (Ryan Propper, 2013), 13372531 (Ryan Propper, 2013). Da 83339 in avanti si tratta di primi probabili.

Potrebbero essercene altri tra il terzultimo e gli ultimi due.

 

Non esiste una prova relativamente semplice come il test di Lucas – Lehmer (v. numeri di Mersenne) per stabilire se un numero di Wagstaff sia primo, quindi si deve ricorrere a test molto più lunghi: la dimostrazione che W42737 è primo da parte di François Morain nel 2007 richiese lo sforzo coordinato di una rete di calcolatori.

 

Secondo una congettura, se p è un primo maggiore di 3, Wp è primo se e solo se nella sequenza s(0) = 3 / 2s(n + 1) = s(n)^2 – 2 vale sp – 1s0 mod Wp.

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