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Naturali (numeri)

Teoria dei numeri  Vari 

Si dicono “naturali” i numeri utilizzati normalmente per contare oggetti discreti: 0, 1, 2, 3 ecc..

Fuori dall’ambito matematico questi numeri sono anche noti come numeri cardinali.

 

Noti da tempi immemorabili, costituiscono la base dell’aritmetica e quindi di tutte le scienze: “Dio creò i numeri naturali; tutto il resto è opera dell’uomo” (Leopold Kronecker, Liegnitz, Prussia, ora Legnica, Polonia, 7/12/1823 – Berlino, 29/12/1891).

 

I numeri naturali sono grammaticalmente considerati aggettivi, ma secondo Karl Menninger (v. Number Words and Number Symbols, nella bibliografia) la classificazione è imprecisa, perché sono aggettivi molto diversi dagli altri: “due cavalli” non qualifica gli animali allo stesso modo di “cavalli bianchi” o “bei cavalli”, perché se li separiamo non sono più due, ma restano belli o bianchi. Il numero è una caratteristica non degli oggetti, ma dello specifico raggruppamento (un matematico direbbe “insieme” considerato. Anche gli altri aggettivi un po’ particolari, come i possessivi (“i miei cavalli”) o i dimostrativi (“questi cavalli”) sono riferiti agli oggetti e restano validi se gli oggetti si separano. Un indizio di questa particolarità sta nel fatto che (in molte lingue, ma non in tutte) mentre un aggettivo qualificativo può essere messo prima o dopo il nome cui si riferisce (“cavalli bianchi” o “bianchi cavalli” differiscono per una sfumatura di enfasi sulle parole, non per il significato) in quasi tutte le lingue il numero va in posizione fissa rispetto al nome.

Alcune lingue correggono, almeno in parte, questa imperfezione: in Arabo uno e due sono aggettivi, ma i numeri seguenti sono nomi.

 

In molte lingue Indoeuropee primi i numerali talvolta fino a quattro si declinano, come aggettivi, mentre i successivi sono indeclinabili: in Gotico, Latino e Tedesco antico sono declinabili fino a tre (ma in Latino sono declinabili le centinaia, da 200 a 900), in Greco antico e Norvegese antico fino a quattro. Tra le lingue moderne, alcuni dialetti tedeschi declinano fino a due, Italiano Francese e Tedesco declinano (limitatamente al genere) solo il numerale uno, altre, come l’inglese, trattano tutti i numeri come indeclinabili.

 

La barriera a quattro riguarda anche altri aspetti delle numerazioni antiche: un russo indicherebbe gli anni di vita in un modo fino a 4, con una frase che letteralmente significa “ho quattro anni”, ma in un modo diverso per numeri maggiori, con una frase che letteralmente significa “ho cinque estati”, un po’ come i Romani, che indicavano con bimus, trinus, quatrinus le età di una persona fino a 4 anni, ma con quinquennis, sexennis ecc. da 5 in poi.

 

Nel calendario romano arcaico i nomi dei mesi avevano nomi propri da Martius (primo mese dell’anno) a Junius (il quarto), ma con un numero dal quinto in poi: Quintilis, Sextilis, September, October, November e December. Secondo la tradizione (improbabile) Numa Pompilio aggiunse Januarius (all’inizio dell’anno, prima di Martius) e Februarus (alla fine dell’anno) passando da una divisione in 10 mesi a una in 12. Januarius fu spostato prima di Februarus nel 450 a.C.. Nel 154 a.C. scoppiò una rivolta nell’attuale Spagna e per evitare un cambio dei comandanti durante la campagna militare (i consoli duravano in carica fino all’inizio dell’anno nuovo), quell’anno fu accorciato a 10 mesi, rendendo Januarius il primo mese dell’anno e creando l’attuale incongruenza dei nomi, per la quale settembre è il nono mese dell’anno e non il settimo. Per completare il caos, Cesare si appropriò del nome del quinto mese, divenuto settimo e Ottaviano Augusto del successivo, cambiandone anche la lunghezza (a un imperatore non si poteva intitolare un mese più corto degli altri) e distruggendo l’originale alternanza tra mesi di 30 e di 31 giorni; ne fece le spese Febbraio.

 

Secondo alcuni Autori l’insieme dei numeri naturali, indicato con ℕ come proposto da Giuseppe Peano (Spinetta, 27/8/1858 – Torino, 20/4/1932) nel 1895, non comprende lo zero, per altri zero va compreso e va indicato con ℕ+ l’insieme dei naturali maggiori di zero. I due insiemi possono anche essere indicati con ℤ* e ℤ+ (v. interi).

Lo zero, in effetti, è entrato nell’uso millenni dopo gli altri naturali (addirittura dopo i numeri razionali e reali), prima come semplice cifra e solo in seguito come numero a tutti gli effetti (v. zero).

 

Presso molti popoli, considerata la diffidenza verso lo zero, i numeri naturali iniziavano da 1; per molti antichi matematici greci, che non volevano considerare come numero naturale neppure 1, addirittura da 2.

 

L’inclusione dello zero tra i naturali può essere giustificata in vari modi, il più semplice dei quali è che è normale definire i numeri naturali come “numeri usati per contare”; se si contano gli elementi di un insieme, bisogna considerare anche la possibilità che l’insieme sia vuoto e quindi zero è uno dei possibili risultati del conteggio.

 

I numeri naturali godono delle seguenti proprietà:

  • chiusura rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione (ma non rispetto alle operazioni inverse sottrazione e divisione), ovvero il risultato di tali operazioni è ancora un numero naturale;

  • proprietà associativa per addizione e moltiplicazione, ovvero (a + b) + c = a + (b + c) e (ab)c = a(bc);

  • proprietà commutativa per addizione e moltiplicazione, ovvero a + b = b + a e ab = ba;

  • esistenza dell’elemento neutro per addizione e moltiplicazione, ovvero a + 0 = 0 + a = a e 1a = a1 = a;

  • proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione, ovvero a(b + c) = ab + ac;

  • assenza di divisori nulli, ovvero se ab = 0, allora a = 0 o b = 0.

Tali proprietà fanno sì che i naturali formino una struttura algebrica nota come “semianello”; non un anello, per la mancanza dell’elemento inverso rispetto all’addizione (cioè perché non sono un insieme chiuso rispetto alla sottrazione). La necessità di un elemento neutro rispetto all’addizione per avere una minima struttura algebrica è secondo me il motivo migliore per includere zero tra i naturali.

 

I naturali possono essere definiti tramite gli assiomi di Peano:

  • esiste un elemento chiamato 0;

  • esiste una funzione successore S(n);

  • nessun elemento ha 0 come successore;

  • la funzione successore è iniettiva (ossia numeri diversi hanno successori diversi);

  • se una proprietà vale per 0 e vale per il successore di ogni naturale, allora vale per tutti i naturali (principio di induzione).

Tuttavia in questa definizione 0 non rappresenta l’usuale zero, ma semplicemente un “primo” elemento: si potrebbe prendere il numero uno come “0”, costruendo ancora un sistema coerente, quindi questa elegante costruzione non basta a giustificare la necessità di includere lo zero tra i numeri naturali.

 

La funzione generatrice dei numeri naturali è Funzione generatrice dei numeri naturali.

 

Tra i modi insoliti di ordinare i numeri naturali, segnalo la sequenza definita come segue: a1 = 1 e an è il minimo numero naturale non ancora presente nella sequenza, tale che la somma degli interi da a0 a an sia divisibile per n. Quindi a2 è 3, perché 3 è il minimo numero naturale non ancora presente che sommato a 1 dia un multiplo di 2; a3 è 2, perché 2 è il minimo numero naturale non ancora presente che sommato a 1 + 3 dia un multiplo di 3 e a4 è 6, perché 6 è il minimo numero naturale non ancora presente che sommato a 1 + 3 + 2 dia un multiplo di 4.

La sequenza ottenuta è 1, 3, 2, 6, 8, 4, 11, 5, 14, 16, 7, 19… e può anche essere definita come a0 = 1, Formula per a(n), dove Formula per k(n) è il quoziente della divisione della somma dei primi n numeri della sequenza per n. A. Shapovalov e O. Lyashko dimostrarono che le due definizioni sono equivalenti e che la sequenza risultante contiene tutti gli interi positivi esattamente una volta.

Qui trovate i primi 10000 termini della sequenza (Franklin T. Adams-Watters, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

E’ possibile scrivere i numeri naturali in ordine, in modo da costituire frazioni che si riducono a interi, utilizzando solo somme a numeratore: Frazione scritta utilizzando numeri naturali consecutivi, Frazione scritta utilizzando numeri naturali consecutivi, Frazione scritta utilizzando numeri naturali consecutivi, .... In questa sequenza l’n-esima frazione vale 2 • 3n – 1 – 1 e ha denominatore Denominatore della frazione di indice n.

 

Nel caso vogliate calcolarne qualcuno, fornisco una curiosa frazione continua: Frazione continua uguale a n, per n intero positivo. I primi puntini indicano che la prima parte della frazione va ripetuta finché il numero davanti alla frazione diventa zero (ossia n volte), dopodiché inizia la seconda parte, come normale frazione continua infinita. Per esempio, per n = 3 abbiamo Frazione continua uguale a 3.

Bibliografia

  • Menninger, Karl;  Number Words and Number Symbols, New York, Dover Publications Inc., 1992 -

    Ripubblicazione del testo pubblicato da MIT Press, Cambridge, 1969, trad. di Zahlwort und Ziffer: Eine Kulturgeschichte der Zahlen, Göttingen, Vandenoeck & Ruprecht Publishing Company, 1957-58. Un testo erudito sui termini e simboli usati per rappresentare i numeri.

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