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Simbolo di Legendre

Funzioni  Teoria dei numeri 

Il simbolo di Legendre è una funzione, indicata con Simbolo di Legendre o talvolta con (n | p), definita solo per p primo e n non multiplo di p, che vale 1 se n è un residuo quadratico modulo p, –1 altrimenti.

 

La definizione è talvolta estesa, definendo Definizione del simbolo di Legendre (n | p) se p divide n.

 

Dalla definizione segue che:

  • Valore del simbolo di Legendre (1 | p);

  • Valore del simbolo di Legendre (a | p), se ab mod p;

  • Valore del simbolo di Legendre (a^2 | p), se p non divide a.

 

La funzione è completamente moltiplicativa rispetto al primo argomento, ovvero Simbolo di Legendre come funzione moltiplicativa.

 

Alcune proprietà, valide per p primo dispari:

Valore del simbolo di Legendre (–1 | p)

Valore del simbolo di Legendre (2 | p)

Valore del simbolo di Legendre (–3 | p)

Valore del simbolo di Legendre (3 | p)

Valore del simbolo di Legendre (5 | p)

Valore del simbolo di Legendre (a | p) (Eulero);

Valore del simbolo di Legendre (a | p), per a dispari;

Formula che coinvolge il simbolo di Legendre (Gauss);

Formula che coinvolge il simbolo di Legendre (Eisenstein).

Se p è un primo dispari che non divide a e tra i numeri: a mod p, 2a mod p, 3a mod p, ... , (p - 1) / 2 * a ve ne sono m maggiori di p / 2, allora Formula per il calcolo del simbolo di Legendre (Gauss). Per esempio, per p = 13 e a = 6 abbiamo 6 mod 13 = 6, 2 • 6 mod 13 = 12, 3 • 6 mod 13 = 5, 4 • 6 mod 13 = 11, 5 • 6 mod 13 = 4, 6 • 6 mod 13 = 10; tra questi ve ne sono 3 maggiori di 13 / 2 (12, 11 e 10) e Simbolo di Legendre (6 | 13).

 

Se p è un primo dispari che non divide un numero dispari a e q è un primo dispari, tale che p ≡ ±q mod 4a, Simbolo di Legendre (a | p) uguale al simbolo di Legendre (a | q).

 

La legge di reciprocità quadratica si può esprimere come Legge di reciprocità quadratica, espressa tramite il simbolo di Legendre, con p e q primi dispari.

 

Mordell dimostrò che la seguente affermazione è equivalente alla legge di reciprocità quadratica: dati 3 interi a, b e c, e un primo p che divida il loro prodotto, se esiste una soluzione dell’equazione Equazione per una condizione equivalente alla legge di reciprocità quadratica, allora esiste una soluzione dell’equazione ax2 + by2 + cz2 mod 4abc.

 

La tabella seguente mostra i primi valori di Simbolo di Legendre.

p \ n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

2

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

3

1

–1

0

1

–1

0

1

–1

0

1

–1

0

1

–1

0

1

–1

0

1

–1

5

1

–1

–1

1

0

1

–1

–1

1

0

1

–1

–1

1

0

1

–1

–1

1

0

7

1

1

–1

1

–1

–1

0

1

1

–1

1

–1

–1

0

1

1

–1

1

–1

–1

11

1

–1

1

1

1

–1

–1

–1

1

–1

0

1

–1

1

1

1

–1

–1

–1

1

13

1

–1

1

1

–1

–1

–1

–1

1

1

–1

1

0

1

–1

1

1

–1

–1

–1

17

1

1

–1

1

–1

–1

–1

1

1

–1

–1

–1

1

–1

1

1

0

1

1

–1

19

1

–1

–1

1

1

1

1

–1

1

–1

1

–1

–1

–1

–1

1

1

–1

0

1

23

1

1

1

1

–1

1

–1

1

1

–1

–1

1

1

–1

–1

1

–1

1

–1

–1

29

1

–1

–1

1

1

1

1

–1

1

–1

–1

–1

1

–1

–1

1

–1

–1

–1

1

31

1

1

–1

1

1

–1

1

1

1

1

–1

–1

–1

1

–1

1

–1

1

1

1

37

1

–1

1

1

–1

–1

1

–1

1

1

1

1

–1

–1

–1

1

–1

–1

–1

–1

41

1

1

–1

1

1

–1

–1

1

1

1

–1

–1

–1

–1

–1

1

–1

1

–1

1

43

1

–1

–1

1

–1

1

–1

–1

1

1

1

–1

1

1

1

1

1

–1

–1

–1

47

1

1

1

1

–1

1

1

1

1

–1

–1

1

–1

1

–1

1

1

1

–1

–1

53

1

–1

–1

1

–1

1

1

–1

1

1

1

–1

1

–1

1

1

1

–1

–1

–1

59

1

–1

1

1

1

–1

1

–1

1

–1

–1

1

–1

–1

1

1

1

–1

1

1

61

1

–1

1

1

1

–1

–1

–1

1

–1

–1

1

1

1

1

1

–1

–1

1

1

67

1

–1

–1

1

–1

1

–1

–1

1

1

–1

–1

–1

1

1

1

1

–1

1

–1

71

1

1

1

1

1

1

–1

1

1

1

–1

1

–1

–1

1

1

–1

1

1

1

73

1

1

1

1

–1

1

–1

1

1

–1

–1

1

–1

–1

–1

1

–1

1

1

–1

79

1

1

–1

1

1

–1

–1

1

1

1

1

–1

1

–1

–1

1

–1

1

1

1

83

1

–1

1

1

–1

–1

1

–1

1

1

1

1

–1

–1

–1

1

1

–1

–1

–1

89

1

1

–1

1

1

–1

–1

1

1

1

1

–1

–1

–1

–1

1

1

1

–1

1

97

1

1

1

1

–1

1

–1

1

1

–1

1

1

–1

–1

–1

1

–1

1

–1

–1

 

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