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Fermat generalizzati (numeri di)

Teoria dei numeri 

I numeri di Fermat generalizzati sono gli interi della forma b2n + 1.

 

Un intero della forma bk + 1 con b > 1 può essere primo solo se b è pari e k è una potenza di 2.

 

Fermat scrisse a Frenicle che riteneva primi i numeri di questa forma, per b pari, se non multipli di un numero di Fermat.

La congettura è falsa: per b = 10 e n = 2 otteniamo 1022 + 1 = 10001 = 73 • 137, composto e non multiplo di un numero di Fermat.

 

Un numero di Fermat generalizzato composto con b pari e k potenza di 2 maggiore di 1 è overpseudoprimo in base b, quindi superpseudoprimo in base b e pseudoprimo forte in base b. In particolare appartengono alla categoria tutti i numeri composti dispari della forma n2 + 1.

 

Tra questi numeri sono stati trovati vari numeri primi, i valori di b che producono primi minori di 1000 sono riportati nella tabella seguente (The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

n

b

2

1, 2, 4, 6, 16, 20, 24, 28, 34, 46, 48, 54, 56, 74, 80, 82, 88, 90, 106, 118, 132, 140, 142, 154, 160, 164, 174, 180, 194, 198, 204, 210, 220, 228, 238, 242, 248, 254, 266, 272, 276, 278, 288, 296, 312, 320, 328, 334, 340, 352, 364, 374, 414, 430, 436, 442, 466, 472, 476, 488, 492, 494, 498, 504, 516, 526, 540, 550, 554, 556, 566, 568, 582, 584, 600, 616, 624, 628, 656, 690, 702, 710, 730, 732, 738, 742, 748, 758, 760, 768, 772, 778, 786, 788, 798, 800, 810, 856, 874, 894, 912, 914, 928, 930, 936, 952, 962, 966, 986, 992, 996

3

1, 2, 4, 118, 132, 140, 152, 208, 240, 242, 288, 290, 306, 378, 392, 426, 434, 442, 508, 510, 540, 542, 562, 596, 610, 664, 680, 682, 732, 782, 800, 808, 866, 876, 884, 892, 916, 918, 934, 956, 990

4

1, 2, 44, 74, 76, 94, 156, 158, 176, 188, 198, 248, 288, 306, 318, 330, 348, 370, 382, 396, 452, 456, 470, 474, 476, 478, 560, 568, 598, 642, 686, 688, 690, 736, 774, 776, 778, 790, 830, 832, 834, 846, 900, 916, 946, 956, 972, 982, 984

5

1, 30, 54, 96, 112, 114, 132, 156, 332, 342, 360, 376, 428, 430, 432, 448, 562, 588, 726, 738, 804, 850, 884

6

1, 102, 162, 274, 300, 412, 562, 592, 728

7

1, 120, 190, 234, 506, 532, 548, 960

8

1, 278, 614, 892, 898

9

1, 46

10

1, 824

11

1, 150

 

Il massimo primo noto di questa forma è 475856219 + 1, che ha 2,976,633 cifre.

 

Gli unici primi noti della forma 10n + 1 sono 11 e 101; se ne esistono altri, n è maggiore di 131072.

 

La sequenza an dei minimi valori maggiori di 1 per i quali Numero di Fermat generalizzato sia primo è: 2, 2, 2, 2, 30, 102, 120, 278, 46, 824, 150, 1534, 30406, 67234, 70906, 48594, 62722, 24518, 75898.

 

Due numeri di Fermat generalizzati b2n + 1 e b2k + 1 sono primi tra loro, se b è pari, e hanno 2 come massimo divisore comune, se b è dispari.

 

641 divide qualsiasi numero della forma (2a5b)25 + 1 = (2a5b)32 + 1, con a e b l’uno pari e l’altro dispari.

 

(6209910 + 2n)4 + 1 è primo per n da 0 a 5.

 

Per i numeri della forma bn ± 1, vedi numeri di Cunningham.

 

Harvey Dubner e Yves Gallot compilarono tabelle con un gran numero di numero di Fermat generalizzati primi e nel 2001 avanzarono la congettura che il numero di primi di Fermat generalizzati della forma b2n + 1 per 2 < bk, tenda a Formula per la stima del numero di numeri di Fermat generalizzati primi, dove Formula per C(n), dove il prodotto va calcolato sui primi dispari e an(p) è 2n, se p ≡ 1 mod 2n + 1, 0 altrimenti.

La tabella seguente mostra l’eccellente accordo tra la stima e i dati disponibili.

n

k

Cn

Numero stimato di primi

Numero effettivo di primi

1

109

1.3728134628182460091

34903256

34900212

2

108

2.6789638797482848822

3859187

3857543

3

107

2.0927941299213300766

173942

174368

4

107

3.6714321229370805404

152575

152447

5

107

3.6129244862406263646

75072

74951

6

107

3.9427412953667399869

40963

41059

7

9 • 106

3.1089645815159960954

14638

14586

8

7 • 106

7.4348059978748568639

13848

13890

9

6 • 106

7.4890662797425630491

6042

6138

10

5 • 106

8.0193434982306030483

2730

2614

11

4 • 106

7.2245969049003170901

1000

1000

12

3 • 106

8.4253498784241795333

446

435

13

2.6 • 106

8.4678857199473387694

196

190

14

2.7 • 106

8.0096845351535704233

96

89

15

2.2 • 106

5.8026588347082479139

29

35

16

1.1 • 105

11.195714229391949615

1.8

2

17

3 • 104

11.004300588768807590

0.3

0

 

Sono anche stati cercati primi della forma p2n + 22n, con p primo; la tabella seguente riporta i pochi noti.

n

p

Primo

0

3

5

1

3

13

2

3

97

3

13

815730977

4

89

15496731425178936435099327796097

5

29

62623297589448778360828428329074752313100292737

6

37

23169162752708970943114627382699355445603465075569066753527132965271355336698663708393617779709970177

 

Bibliografia

  • Adler, Andrew;  Coury, John E.;  The Theory of Numbers: a Text and Source Book of Problems, Londra, Jones and Bartlett Publishers, 1995.
  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

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