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Proth (numeri di)

Teoria dei numeri 

I numeri di Proth sono gli interi della forma n = k2h + 1, con k dispari e minore di 2h. Comprendono quindi in particolare i numeri di Fermat (per k = 1 e h potenza di 2) e i numeri di Thābit ibn Qurra di seconda specie, per k = 3.

 

Il nome è in onore del matematico francese François Proth (1852 – 1879), che nel 1878 dimostrò che un numero di Proth n è primo se e solo se esiste un intero a, non residuo quadratico di n, tale che a^((n – 1) / 2) ≡ 1 mod n, scoprendo quindi un metodo per dimostrare efficientemente la primalità di un’ampia classe di numeri.

Viceversa se la congruenza non vale e Simbolo di Jacobi (a | n) = –1, dove Simbolo di Jacobi (a | n) è il simbolo di Jacobi, allora n è composto.

 

La dimostrazione può essere generalizzata: dato n = kph + 1, con p primo e ph > k, se esiste un intero a tale che an – 1 ≡ 1 mod na^((n – 1) / p) è primo rispetto a n, allora n è primo.

 

I numeri di Proth minori di 1000 sono: 3, 5, 9, 13, 17, 25, 33, 41, 49, 57, 65, 81, 97, 113, 129, 145, 161, 177, 193, 209, 225, 241, 257, 289, 321, 353, 385, 417, 449, 481, 513, 545, 577, 609, 641, 673, 705, 737, 769, 801, 833, 865, 897, 929, 961, 993.

Qui trovate i numeri di Proth minori di 109.

 

I primi di Proth sono i numeri di Proth che sono primi; i primi di Proth minori di 10000 sono: 3, 5, 13, 17, 41, 97, 113, 193, 241, 257, 353, 449, 577, 641, 673, 769, 929, 1153, 1217, 1409, 1601, 2113, 2689, 2753, 3137, 3329, 3457, 4481, 4993, 6529, 7297, 7681, 7937, 9473, 9601, 9857.

Qui trovate i primi di Proth minori di 109.

 

Proth dimostrò anche altri teoremi utili per decidere se un numero qualsiasi è primo:

  • se a^((n – 1) / 2) – 1 è un multiplo di n, ma a^((n – 1) / (2 * d)) – 1 non lo è per nessun divisore proprio d di (n – 1) / 2, n è primo;

  • se an – 1 – 1 è un multiplo di n, ma a^((n – 1) / d) – 1 non lo è per nessun divisore d di n – 1 minore di sqrt(n), n è primo.

 

Nel 1979 Erdös e Odlyzko dimostrarono che, fissato x, esiste una costante C < 1 tale che per Cx valori di k non superiori a x esiste almeno un valore di h per il quale k2h + 1 è primo e un risultato analogo per k2h – 1. I due matematici dimostrarono quindi che esistono infiniti interi che non sono numeri di Riesel o di Sierpiński (II).

 

Nel 2012 Zhi-Wei Sun propose tre congetture sui primi di Proth, chiamando pn l’n-esimo primo di Proth:

  • il numero di primi di Proth inferiori a n tende a c * sqrt(n) / log(n), per un’opportuna costante c;

  • p(n) ^ (1 / n) > p(n + 1) ^ (1 / (n + 1)), dove pn è l’n-esimo primo di Proth, tranne per n uguale a 2, 4 o 5;

  • p(n + 1) ^ (1 / (n + 1)) / p(n) ^ (1 / n), dove pn è l’n-esimo primo di Proth, è strettamente crescente per n > 33.

Sun verificò la congettura per n fino a 4000; v. congetture di Zhi-Wei Sun sulle sequenze.

 

Il massimo primo di Proth noto è 10223 • 231172165 + 1, che venne scoperto durante una ricerca volta a dimostrare che 10233 non è un numero di Sierpiński.

 

Il massimo primo noto della forma n = k2h – 1 con k dispari, k > 1 e k < 2h è 395811 • 2216193 – 1 (J. Brown, L.C. Noll, B Parady, G. Smith, J. Smith e S. Zarantonello).

 

Il massimo primo noto della forma n = k10h + 1 con k non multiplo di 10, k > 1 e k < 10h è 22270 • 1013088 + 1 (Dubner, 1993).

Vedi anche

Primi (numeri).

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