Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Primi di Wieferich

Teoria dei numeri 

Si chiamano “primi di Wieferich” i numeri primi p per i quali 2p – 1 ≡ 1 mod p2.

Devono il nome a Josef Alwin Wieferich (Münster, Germania, 27/4/1884 – Meppen, Germania, 15/9/1954), che nel 1909 dimostrò che  xp + yp = zp può avere soluzioni intere non banali se p non divide x, y e z, solo se p soddisfa la congruenza sopra mostrata.

 

Il piccolo teorema di Fermat ci garantisce che bp – 1 – 1 è divisibile per p, se p è un numero primo che non divide b, ma è relativamente raro che tale numero sia divisibile per potenze superiori di p.

Se b = 2 si conoscono due soli primi con questa proprietà: 1093 e 3511. Il primo fu scoperto da Waldemar Meissner nel 1913, il secondo da N.G.W.H. Beeger nel 1922, nei due casi il risultato fu il coronamento di lunghe e faticose ricerche, condotte effettuando manualmente i calcoli.

 

La tabella riporta i limiti superiori faticosamente raggiunti dalle varie ricerche.

Limite

Autori

Anno

2000

Waldemar Meissner

1913

16000

N.G.W.H Beeger

1940

50000

C.E. Fröberg

1958

100000

S. Kravitz

1960

200183

E.H. Pearson

1964

500000

H. Riesel

1964

3 • 107

C.E. Fröberg

1968

3 • 109

J. Brillhart, J. Tonascia, e P. Weinberger

1971

6 • 109

D.H. Lehmer

1981

6.1 • 1010

David Clark

1996

4 • 1012

R. Crandall, K. Dilcher, e C. Pomerance

1997

8 • 1012

R. McIntosh

2001

4.8 • 1013

R. Brown

2001

2 • 1014

J. Crump

2002

1.25 • 1015

Joshua Knauer e Jörg Richstein

2005

6.7 • 1015

François G. Dorais e Dominic W. Klyve

2008

4.968543 • 1017

primeGrid

2012

 

Le ricerche erano state inizialmente stimolate dalla dimostrazione di Wieferich, importante perché indicava che le eventuali eccezioni al cosiddetto primo caso dell’ultimo teorema di Fermat sono estremamente rare.

 

Non si sa se esistano infiniti primi di Wieferich, né se esistano infiniti primi non di Wieferich. A. Granville dimostrò nel 1986 che l’esistenza di infiniti primi non di Wieferich è una conseguenza della congettura di Erdös che non esistono tre numeri potenti consecutivi, mentre J.H. Silvermann dimostrò nel 1988 che dalla cosiddetta congettura “abc” segue l’esistenza di almeno clogn primi non di Wieferich minori di n, per una costante c.

Graves e Murty migliorarono il teorema di Silvermann, dimostrando che dalla congettura segue l’esistenza di infiniti infiniti primi non di Wieferich della forma kn + 1, per ogni n > 1.

Nessuna delle due congetture è stata dimostrata, ma entrambe sono ritenute molto probabilmente vere.

 

Crandall, Dilcher, and Pomerance hanno proposto un’interessante congettura: il numero di primi nell’intervallo [a .. b] per i quali (2^p – 1) / p ≤ k tende a k(loglogb – logloga); le verifiche, estese sino a 6.7 • 1015 supportano la congettura. In particolare la congettura suggerisce che il numero di primi di Wieferich nell’intervallo sia mediamente loglogb – logloga.

 

Un numero primo dispari p è un primo di Wieferich se e solo se 2pn ≡1 mod p2 per qualche valore di n maggiore di 0.

 

Un numero primo dispari p è un primo di Wieferich se e solo se divide il numeratore di H((p – 1) / 2).

Un primo di Wieferich p divide il numeratore di Numero armonico con indice uguale al massimo intero non superiore a p / 4.

 

I primi di Wieferich sono primi di Lucas – Wieferich per p = 3, q = 2.

 

I quadrati dei primi di Wieferich sono pseudoprimi di Fermat in base 2, cioè numeri di Poulet, e pseudoprimi di Catalan.

 

Nessun primo di Mersenne o di Fermat è un primo di Wieferich.

 

Nel 2010 Luis H. Gallardo dimostrò che se p è un primo di Sophie Germain della forma 4k + 3, q = 2p + 1 non è un primo di Wieferich.

 

Si chiama “ordine” di un primo di Wieferich p il massimo valore di w tale che pw + 1 divida 2p – 1; gli unici primi di Wieferich noti sono di ordine 1.

 

Un primo p è un primo di Wieferich di ordine almeno w se e solo se pw + 1 è un overpseudoprimo in base 2 (Vladimir Sheverel, 2008). I quadrati dei primi di Wieferich sono quindi overpseudoprimi in base 2 e di conseguenza pseudoprimi forti e superpseudoprimi in base 2.

 

Se il quadrato di un primo q divide un numero di Mersenne Mp con p primo, q è un primo di Wieferich; è stato dimostrato che non esistono numeri di Mersenne divisibili per il quadrato di uno dei due primi di Wieferich noti.

Se un primo q divide Mp con p primo, ma q2 non divide Mp, q non è un primo di Wieferich; pertanto se nessun numero di Mersenne Mp con p primo è multiplo di un quadrato, esistono infiniti primi non di Wieferich.

Se il quadrato di un primo q divide Mp, qw divide Mp se e solo se q è un primo di Wieferich di ordine w – 1 (Vladimir Sheverel, 2008).

 

Se il quadrato di un primo p divide un numero di Fermat Fn, p è un primo di Wieferich.

 

Nel 2007 John Blythe Dobson notò che i due primi di Wieferich noti sono legati da una curiosa relazione: σ(1093 – 1) / (1093 – 1) = σ(3511 – 1) / (3511 – 1); non è chiaro se si tratti solo di una coincidenza.

 

Sebbene non abbiano particolari proprietà, sono stati cercati anche gli interi n tali che 2n – 1 ≡ 1 mod n2, detti “numeri di Wieferich”. Se ne conoscono 104: 1093, 3279, 3511, 7651, 10533, 14209, 17555, 22953, 31599, 42627, 45643, 52665, 68859, 94797, 99463, 127881, 136929, 157995, 228215, 298389, 410787, 473985, 684645, 895167, 1232361, 2053935, 2685501, 3697083, 3837523, 6161805, 11512569, 18485415, 19187615, 26862661, 34537707, 49887799, 57562845, 80587983, 103613121, 134313305, 149663397, 172688535, 241763949, 249438995, 310839363, 349214593, 402939915, 448990191, 518065605, 648541387, 725291847, 748316985, 1047643779, 1208819745, 1346970573, 1554196815, 1746072965, 1945624161, 2175875541, 2244950955, 3142931337, 3242706935, 3626459235, 4040911719, 4539789709, 5238218895, 5836872483, 6527626623, 6734852865, 9428794011, 9728120805, 10879377705, 12122735157, 13619369127, 15714656685, 17510617449, 20204558595, 22698948545, 28286382033, 29184362415, 32638133115, 40858107381, 47143970055, 52531852347, 60613675785, 68096845635, 84859146099, 87553087245, 122574322143, 141431910165, 157595557041, 204290536905, 254577438297, 262659261735, 367722966429, 424295730495, 612871610715, 787977785205, 1103168899287, 1272887191485, 1838614832145, 3309506697861, 5515844496435, 16547533489305.

Takashi Agoh, Karl Dilcher e Ladislav Skula dimostrarono nel 1997 che se i primi di Wieferich sono in numero finito, anche i numeri di Wieferich lo sono e in particolare che se vi sono solo i due primi di Wieferich noti, l’elenco è completo.

Bibliografia

  • Bach, Eric;  Shallit, Jeffrey;  Algorithmic Number Theory, MIT Press, 1997.
  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.