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Bilanciati (numeri) (II)

Teoria dei numeri 

Si chiamano talvolta “bilanciati” i numeri naturali n per i quali il numero di fattorizzazioni ordinate H(n) è uguale a n.

 

I numeri bilanciati inferiori a 109 sono: 1, 48, 1280, 2496, 28672 (R.J. Mathar, 2009), 29808 (R.J. Mathar, 2009), 454656 (Nathaniel Johnston, 2010), 2342912 (Nathaniel Johnston, 2010), 11534336 (M. Fiorentini, 2015), 57409536 (M. Fiorentini, 2015), 218103808 (M. Fiorentini, 2015).

 

Dalle formule per il numero di fattorizzazioni ordinate si ricava che:

  • se p è un primo dispari, 22p – 2p è bilanciato, quindi esistono infiniti numeri bilanciati (A. Knopfmacher e M.E. Mays 2005);

  • se n2 + 6n + 6 = 2pq è il doppio del prodotto di due primi dispari distinti p e q, 2npq è bilanciato;

  • non esistono numeri bilanciati della forma 2np2 con p primo dispari (M. Fiorentini, 2018);

Esistono anche numeri bilanciati non di queste forme, come 29808 = 24 • 34 • 23.

 

A. Knopfmacher e M.E. Mays dimostrarono nel 2005 che i numeri bilanciati sono infiniti.

 

Come per i numeri perfetti, è aperta la questione dell’esistenza di numeri bilanciati dispari; se esistono, non sono multipli di quadrati (Martin Klazar e Florian Luca, 2008).

 

Non esistono progressioni aritmetiche di lunghezza infinita di numeri bilanciati (Martin Klazar e Florian Luca, 2008).

 

Il massimo numero bilanciato noto si ricava dal massimo primo noto: 22M77232917 – 2M77232917, che ha circa 1046498849 cifre ed è probabilmente il massimo intero del quale sia stata dimostrata esplicitamente una proprietà legata ai fattori primi.

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