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Bilanciati (numeri) (II)

Teoria dei numeri 

Si chiamano talvolta “bilanciati” i numeri naturali n per i quali il numero di fattorizzazioni ordinate H(n) è uguale a n.

 

I numeri bilanciati inferiori a 109 sono: 1, 48, 1280, 2496, 28672 (R.J. Mathar, 2009), 29808 (R.J. Mathar, 2009), 454656 (Nathaniel Johnston, 2010), 2342912 (Nathaniel Johnston, 2010), 11534336 (M. Fiorentini, 2015), 57409536 (M. Fiorentini, 2015), 218103808 (M. Fiorentini, 2015).

 

Se Mp = 2p – 1 è un numero primo di Mersenne, 22Mp - 2Mp è bilanciato, tuttavia esistono anche numeri bilanciati non di questa forma.

 

A. Knopfmacher e M.E. Mays dimostrarono nel 2005 che i numeri bilanciati sono infiniti.

 

Come per i numeri perfetti, è aperta la questione dell’esistenza di numeri bilanciati dispari; se esistono, non sono multipli di quadrati (Martin Klazar e Florian Luca, 2008).

 

Non esistono progressioni aritmetiche di lunghezza infinita di numeri bilanciati (Martin Klazar e Florian Luca, 2008).

 

Il massimo numero bilanciato noto si ricava dal massimo primo di Mersenne noto: 22M43112609 – 2M43112609, che ha circa 101297889 cifre ed è probabilmente il massimo intero del quale sia stata dimostrata esplicitamente una proprietà legata ai fattori primi.

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