Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Pandigitali (numeri)

Rappresentazione dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Potenze pandigitali

Si dicono pandigitali i numeri naturali che contengono tutte le cifre; in genere si considera esclusivamente la base 10.

 

Spesso non viene considerato lo zero, quindi i valori riportati sono generalmente doppi, con e senza zero.

 

Sono ovviamente infiniti e molto comuni, almeno tra i numeri grandi, per questo si investiga per lo più su quelli appartenenti anche ad altre categorie, cercando i minimi e massimi rappresentanti, questi ultimi intesi senza ripetizione di cifre.

 

Alcuni casi con lo zero:

  • il minimo quadrato è 1026753849 = 320432;

  • il massimo quadrato senza ripetizione di cifre è 9814072356 = 990662;

  • il minimo quadrato di un primo è 10347568729 = 1017232;

  • il minimo cubo è 12584301976 = 23263;

  • non esistono cubi pandigitali senza ripetizione di cifre;

  • il minimo cubo di un primo è 160722988453 = 54373;

  • il minimo numero di Smith è 1023465798;

  • il massimo numero di Smith senza ripetizione di cifre è 9876542103;

  • il minimo fattoriale è 23! = 25852016738884976640000;

  • il minimo subfattoriale è !17 = 130850092279664;

  • il minimo primoriale è 61# = 117288381359406970983270;

  • il minimo semiprimo palindromo è 1023456798976543201;

  • il minimo della forma nn è 1919 = 1978419655660313589123979;

  • il minimo intero con esattamente 10 fattori primi è 1023479856 = 24 • 32 • 72 • 73 • 1987;

  • il massimo intero senza ripetizione di cifre con esattamente 10 fattori primi è 9876534120 = 23 • 34 • 5 • 43 • 70891;

  • il minimo numero perfetto è 288(289 – 1) = 191561942608236107294793378084303638130997321548169216;

 

Se si esclude lo zero abbiamo i seguenti casi:

  • il minimo quadrato è 139854276 = 118262 (John Hil, 1727);

  • il massimo quadrato senza ripetizione di cifre è 923187456 = 303842 (H.E. Dudeney, 1917);

  • la minima potenza di un primo è 1174638529 = 342732;

  • il minimo numero di Smith è 123456879;

  • il massimo numero di Smith senza ripetizione di cifre è 987653214;

  • il minimo numero polidivisibile è 381654729;

  • il minimo numero di Carmichael è 5748693121;

  • il minimo semiprimo è 1123456987;

  • il minimo pseudoprimo forte in base 2 è 6913548721;

  • il minimo semiprimo palindromo è 12345689798654321;

  • il minimo intero con esattamente 9 fattori primi è 123456879;

  • il minimo numero perfetto è 260(261 – 1) = 2658455991569831744654692615953842176.

 

Utilizzando esattamente due volte tutte le cifre, il minimo quadrato è 112345723568978496 = 3351801362 e il massimo è 998781235573146624 = 9993904322.

Utilizzando esattamente tre volte tutte le cifre, il minimo quadrato è 111222338559598866946777344 = 105462001953122 e il massimo è 999888767225363175346145124 = 316210178081822.

 

Il numero pandigitale, senza ripetizione di cifre, col massimo numero di fattori primi è 6398410752 = 221 • 33 • 113.

 

I minimi interi la cui scomposizione in fattori primi sia pandigitale sono:

  • 3122490 = 2 • 3 • 5 • 7 • 14869, escludendo lo zero = 4;

  • 22022490 = 2 • 3 • 5 • 7 • 104869, comprendendo lo zero.

 

La tabella seguente riporta il minimo fattoriale pandigitale nelle basi da 2 a 20 (M. Fiorentini, 2013).

Base

n

n!

2

2

2 = 102

3

8

40320 = 20010221003

4

5

120 = 13204

5

11

39916800 = 402043142005

6

17

355687428096000 = 33002523143040000006

7

14

87178291200 = 62042341512007

8

15

1307674368000 = 230167356540008

9

23

25852016738884976640000 = 2822351012617584575600009

10

23

25852016738884976640000

11

24

620448401733239439360000 = 7692910A46738965730440011

12

36

371993326789901217467999448150835200000000 = 3789A0946411972035272B0000000000000000012

13

30

265252859812191058636308480000000 = 141574586A93B1A9C12B510382890013

14

35

10333147966386144929666651337523200000000 = B1856457D3560801AB86CC944CBC2C0000014

15

46

5502622159812088949850305428800254892961651752960000000000 = 1463D6B56D4151B026CA91C8A5C16741B8E8CEB6000000000015

16

50

30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000 = 49EEBC961ED279B02B1EF4F28D19A84F5973A1D2C780000000000016

17

43

60415263063373835637355132068513997507264512000000000 = CB294E4CC1B8996CB3E43F1B357A75C0FGCF81AFD0017

18

50

30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000 = 2G78416B1333979GH0A38FAE407BCA332AG7D5E9E0000000000018

19

40

815915283247897734345611269596115894272000000000 = 3I4EF6GGB2C7988A6051E0439HDHBH2261F40019

20

59

138683118545689835737939019720389406345902876772687432540821294940160000000000000 = 605F78I6G4HJ5CD181B0CG27I5EAJ6DB1A7670A093JG59128000000000000020

 

Vi sono varie coppie di interi che insieme contengono tutte le cifre senza ripetizioni e tali che il prodotto sia pandigitale, sempre senza ripetizioni di cifre: il minimo prodotto è 258 • 3967041 = 1023496578 e il massimo prodotto è 9654 • 871203 = 8410593762 (Carlos Rivera, 2004).

 

Per quanto riguarda i numeri primi, non possono esistere primi pandigitali, con o senza zero, senza ripetizione di cifre, perché tali numeri sono multipli di 9; non si cercano quindi dei massimi.

 

Alcuni esempi di primi pandigitali sono:

  • il minimo è 10123457689;

  • il minimo palindromo è 1023456987896543201 (Harry L. Nelson, 1980);

  • il minimo primo felice è 10234465789;

  • il minimo di una coppia di primi gemelli è 10234786589 (l’altro primo della coppia è 10234786591);

  • si conosce un solo primo unico di 1920 cifre.

 

Alcuni esempi escludendo lo zero:

  • il minimo è 1123465897;

  • il minimo primo felice è 1234457689;

  • il solo primo unico pandigitale noto è 14285715714285714285699999998571428571428585714285714285571428557142857142 8572857143 (è anche il solo noto che contenga sia 2 che 4, ma non 0).

 

Il minimo primo con tutte le cifre, tranne 0 e 1 è 23456789

 

Il massimo primo palindromo pandigitale noto è 1(0)2469 976543282345679(0)24691, per un totale di 4955 cifre (Harvey Dubner).

 

La tabella seguente mostra le somme dei primi numeri primi che sono pandigitali, zero escluso; curioso il caso di 572469138, somma dei primi 10701 numeri primi, perché 10701 è palindromo.

Somma

Numero di primi

Massimo primo

394521678

547128369

572469138

8971

10474

10701

92857

110291

112997

 

La tabella seguente mostra le somme dei primi numeri primi che sono pandigitali; curioso il caso di 5897230146, somma dei primi 32423 numeri primi, perché 32423 è primo e palindromo.

Somma

Numero di primi

Massimo primo

1063254978

1829360475

2835410967

3478029561

3954061782

4271593608

4583260179

5190863247

5741092638

5897230146

5932401786

6980571324

7803615924

14353

18572

22876

25212

26799

27803

28752

30510

32011

32423

32515

35137

37055

155863

207301

260539

289847

309977

322429

334427

356831

376291

381631

382873

416821

441461

 

Il minimo primo che non divida alcun numero pandigitale di 10 cifre (quindi senza ripetizione delle cifre) è 111119.

 

12345678902 + 1 = 1524157875019052101 è primo.

 

In base tutti i numeri maggiori di 1 (e quindi tutti i primi) sono pandigitali, ma l’unico senza ripetizione di cifre è 102 = 2.

Gli unici primi pandigitali senza ripetizione di cifre in base 3 sono 11 = 1023 e 19 = 2013.

 

Passando a notazioni più esotiche, il minimo primo “pandigitale” (o dovremmo chiamarlo “panletterale”?) in notazione romana è MCDXLVII = 1447, di appena 3 unità superiore rispetto al minimo numero pandigitale nella stessa notazione, ossia MCDXLIV = 1444.

 

Nel 1983 Steven Verhezen pubblicò sul Journal of Recreational Mathematics i risultati delle sue ricerche su radici pandigitali: radici quadrate e cubiche, nelle quali le prime 10 cifre sono tutte differenti.

Le minime radici quadrate e cubiche sono rispettivamente Radice quadrata di 1362 e Radice cubica di 2017.

Il minimo intero che abbia entrambe le radici pandigitali è 29265786: Radice quadrata di 29265786 e Radice cubica di 29265786.

Bibliografia

  • Guy, Richard K.;  Woodrow, Robert E.;  The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugene Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and Its History, Washington, Mathematical Association of America, 1994.
  • Odifreddi, Piergiorgio;  "Linguistica aritmetica" in Le Scienze, Milano, n. 457, Settembre 2006, pag. 103.
  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.