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Felici (numeri)

Rappresentazione dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Somme di potenze ripetute

La definizione può essere generalizzata anche sostituendo al quadrato una qualsiasi funzione f(n) a valori interi per argomenti interi, tale che f(0) = 0 e f(1) = 1. Il procedimento trasforma allora un numero n, rappresentato in base b come Formula per la rappresentazione di un numero in base b, con i vari ak interi minori di b, in Formula per la definizione della funzione F.

Iterando il procedimento, quale che sia la base della rappresentazione, otteniamo inevitabilmente un ciclo, eventualmente formato da un solo numero. Questo non è poi molto sorprendente: se calcola una qualsiasi funzione a valori interi di un numero, che produca valori inferiori all’argomento per numeri sufficientemente grandi, e si itera il procedimento, partendo da tutti gli interi si arriva sempre in un numero finito di cicli.

 

Il caso più studiato è quello dell’elevamento delle cifre a una potenza fissata.

 

Sommando ripetutamente i cubi delle cifre, in base 10 si arriva a uno dei seguenti risultati (Matsuoka, 1965):

  • 153, se l’intero di partenza è un multiplo di 3;

  • 1, 370 o uno dei cicli { 55, 250, 133 }, { 136, 244 }, { 160, 217, 352 }, { 919, 1459 } se l’intero di partenza è della forma 3n + 1;

  • 371, se l’intero di partenza è della forma 3n + 2.

 

La tabella seguente riporta i cicli noti in base 10, tra i quali vi sono tutti i cicli di lunghezza 1 e 2 fino alla settima potenza. I cicli di lunghezza 1 sono formati dai numeri di Armstrong e da pochi altri; i cicli di lunghezza 2 da quelli che potremmo chiamare “numeri di Armstrong amichevoli”. Per i cicli con più di 3 elementi la tabella riporta il numero minimo e, tra parentesi, il numero di elementi.

Potenza

Numero cicli

Cicli di lunghezza 1

Cicli di lunghezza 2

Cicli di lunghezza 3

Altri cicli

2

3

0, 1

Nessuno

Nessuno

4 (8)

3

10

0, 1, 153, 370, 371, 407

{ 136, 244 }, { 919, 1419 }

{ 55, 250, 133 }, { 160, 217, 352 }

Nessuno

4

7

0, 1, 1634, 8208, 9474

{ 2178, 6514 }

Nessuno

1138 (7)

5

17

0, 1, 4150, 4151, 54748, 92727, 93084, 194979

{ 58618, 76438 }, { 89883, 157596 }

Nessuno

244 (28), 8294 (10), 8299 (6), 9044 (10), 9045 (22), 10933 (4), 24584 (12)

6

8

0, 1, 548834

{ 63804, 313625 }

{ 282595, 824963, 845130 }

17148 (30), 93531 (4), 239459 (10),

7

18

0, 1, 1741725, 4210818, 9800817, 9926315, 14459929

{ 2755907, 6586433 }, { 8139850, 9057586 }

{ 2767918, 8807272, 5841646 }

80441 (92), 86874 (56), 253074 (27), 376762 (30), 922428 (14), 982108 (21), 1152428 (12), 2191663 (6)

8

8

0, 1, 24678050, 24678051, 88593477 }

Nessuno

{ 7973187, 77124902, 54642372 }

6822 (154), 8616804 (25)

9

20

0, 1, 146511208, 472335975, 534494836, 912985153

{ 144839908, 1043820406 }, { 277668893, 756738746 }

{ 180975193, 951385123, 525584347 }, { 409589079, 1339048071, 562293336 }

322219 (28), 2274831 (93), 20700388 (8), 32972646 (80), 41179919 (30), 42569390 (19), 52666768 (4), 52687474 (24), 62986925 (10), 180450907 (10)

10

9

0, 1, 384340478

{ 304162700 344050075 }

 

20818070 (81), 62681428 (17), 123148627 (6), 192215803 (123), 1139785743 (7)

 

Nel 2006 Hao Pan dimostrò che esistono sequenze di lunghezza arbitraria di numeri felici anche se nel procedimento il quadrato è sostituito da una potenza e > 1 e la base b è diversa da 10, purché e non dia resto 1 se diviso per p – 1, dove p è un qualsiasi primo che divide b – 1. Se b = 10, l’unico divisore primo di b – 1 e 3 e la dimostrazione ci dice che esistono sequenze di lunghezza arbitraria di numeri felici se l’esponente è pari, mentre se l’esponente è 2 esistono sequenze del genere se la base è pari.

Bibliografia

  • Wells, David;  The Penguin Book of Curious and Interesting Mathematics, Londra, Penguin Books, 1997.

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