Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Felici (numeri)

Rappresentazione dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Somme di potenze ripetute

La definizione dei numeri felici si basa sul calcolare ripetutamente la somma dei quadrati delle cifre. Per esempio, iniziando con 7 otteniamo 49, 97, 130, 10, 1. Se in questo modo otteniamo prima o poi 1, il numero iniziale si dice felice.

Non tutti i numeri sono felici: per esempio 2 non lo è (ed è quindi detto “infelice”), perché genera la sequenza 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, che si ripete all’infinito. Ripetendo il procedimento descritto, tutti i numeri infelici finiscono in questo ciclo.

 

I numeri felici fino a 1000 sono: 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100, 103, 109, 129, 130, 133, 139, 167, 176, 188, 190, 192, 193, 203, 208, 219, 226, 230, 236, 239, 262, 263, 280, 291, 293, 301, 302, 310, 313, 319, 320, 326, 329, 331, 338, 356, 362, 365, 367, 368, 376, 379, 383, 386, 391, 392, 397, 404, 409, 440, 446, 464, 469, 478, 487, 490, 496, 536, 556, 563, 565, 566, 608, 617, 622, 623, 632, 635, 637, 638, 644, 649, 653, 655, 656, 665, 671, 673, 680, 683, 694, 700, 709, 716, 736, 739, 748, 761, 763, 784, 790, 793, 802, 806, 818, 820, 833, 836, 847, 860, 863, 874, 881, 888, 899, 901, 904, 907, 910, 912, 913, 921, 923, 931, 932, 937, 940, 946, 964, 970, 973, 989, 998, 1000.

Qui trovate i numeri felici sino a 1000000 (1 MByte).

 

Ogni numero ottenuto permutando le cifre di un numero felice (o infelice) o inserendo zeri è felice (o infelice). Per esempio, i numeri felici di non più di tre cifre possono essere ottenuti dai seguenti, che potremmo chiamare “felici primitivi”, permutando le cifre e inserendo zeri (per ogni combinazione di cifre è riportato il numero minimo): 1, 7, 13, 19, 23, 28, 44, 49, 68, 79, 129, 133, 139, 167, 188, 226, 236, 239, 338, 356, 367, 368, 379, 446, 469, 478, 556, 566, 888, 899 (Bryan Wolf, The Online Encyclopedia of Integer Sequences, http://oeis.org).

Qui trovate i numeri felici primitivi sino a 1010 (Bryan Wolf, The Online Encyclopedia of Integer Sequences, http://oeis.org).

 

Esistono infiniti numeri felici e infiniti numeri infelici.

 

La densità dei numeri felici (ossia il rapporto tra essi e i numeri considerati) non tende a un numero finito, ma, allargando l’intervallo considerato, oscilla tra un limite superiore e uno inferiore.

D. Moews dimostrò nel 2011 che asintoticamente per il limite inferiore d vale 0.002937 < d < 0.1217 e per quello superiore D vale 0.1962 < D < 0.38. Justin Gilmer ridusse nel 2011 il massimo per il limite superiore a 0.1138.

 

E. El-Sedy e S. Siksek dimostrarono nel 2000 che esistono sequenze arbitrariamente lunghe di numeri felici consecutivi, ma nel 1966 Crittenden e Harris avevano già dimostrato che esistono sequenze arbitrariamente lunghe di interi consecutivi della stessa categoria.

 

La tabella seguente mostra i minimi interi di una sequenza di n numeri felici consecutivi (The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

n

Primi interi

1

 

2

31, 129, 192, 262, 301, 319, 367, 391, 565, 622, 637, 655, 912, 931, 1029, 1092, 1114, 1121, 1151, 1184, 1211, 1221, 1257, 1274, 1299, 1332, 1447, 1474, 1511, 1527, 1574, 1581, 1724, 1744, 1754, 1771, 1784, 1814, 1851, 1874, 1880, 1881, 1902, 1929, 2062

3

1880, 4780, 4870, 7480, 7839, 7840, 8180, 8470, 8739, 8740, 8810, 10880, 11248, 11249, 11519, 12148, 12149, 13898, 15119, 18080, 18800, 21148, 21149, 23308, 25680, 25860, 26580, 26850, 28560, 28650, 31898, 32308, 33208, 33319, 40780, 40870, 44488, 44489

4

7839, 8739, 11248, 12148, 21148, 44488, 44489, 44939, 49439, 70839, 78039, 80739, 87039, 94439, 101248, 102148, 110248, 112048, 120148, 121048, 201148, 210148, 211048, 222688, 222689, 226288, 226289, 236839, 238639, 258598, 258599, 262288, 262289, 263839

5

44488, 222688, 226288, 258598, 262288, 285598, 404488, 440488, 444088, 528598, 582598, 622288, 825598, 852598, 1113688, 1116388, 1131688, 1136188, 1161388, 1163188, 1233588, 1235388, 1253388, 1311688, 1316188, 1323588, 1325388, 1332588, 1335288, 1352388

6

7899999999999959999999996

7

7899999999999959999999996

 

Alcuni numeri felici particolari:

  • 986,543,210, il massimo senza cifre ripetute;

  • 1,234,456,789, il minimo pandigitale, escludendo lo zero;

  • 10,234,456,789, il minimo pandigitale;

  • 13,456,789,298,765,431, il minimo pandigitale palindromo, escludendo lo zero;

  • 1,034,567,892,987,654,301, il minimo pandigitale palindromo.

 

I primi felici sono i numeri primi che sono anche felici; quelli inferiori a 1000 sono: 7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293, 313, 331, 367, 379, 383, 397, 409, 487, 563, 617, 653, 673, 683, 709, 739, 761, 863, 881, 907, 937.

Qui trovate i primi felici minori di 107 (M. Fiorentini, 2016).

 

Il massimo noto al momento è il primo di Mersenne 242643801 – 1 (12837064 cifre); il secondo è 4847 • 23321063 + 1 (Richard Hassler, 2005, 999744 cifre).

 

Nel 2005 Paul Jobling scoprì il primo palindromo e felice di 150007 cifre 10150006 + 7426247 • 1075000 + 1, il massimo a oggi noto

 

Le terne pitagoriche con i tre numeri felici e minori di 10000 sono: (700, 3465, 3535), (748, 8211, 8245), (910, 8256, 8306), (940, 2109, 2309), (940, 4653, 4747), (1092, 1881, 2175), (1323, 4536, 4725), (1527, 2036, 2545), (1785, 3392, 3833) (1900, 1995, 2755), (1995, 4788, 5187), (2715, 3620, 4525), (2751, 8360, 8801), (2784, 6440, 7016), (3132, 7245, 7893), (3135, 7524, 8151), (3290, 7896, 8554), (3367, 3456, 4825), (3680, 5313, 6463), (4284, 5313, 6825), (4633, 5544, 7225), (5178, 6904, 8630), (5286, 7048, 8810), (5445, 6308, 8333), (5712, 7084, 9100), (6528, 7480, 9928).

 

La definizione può essere generalizzata considerando basi diverse da 10.

In qualsiasi base esistono infiniti numeri felici, perché 1 seguito da un qualsiasi numero di zeri è felice; non sempre invece esistono numeri infelici: in base 2 e 4 qualsiasi numero è felice, e questo rende questi due interi “basi felici”. Probabilmente questi sono gli unici interi con questa proprietà, ma non è stato dimostrato; se ne esistono altri sono maggiori di 500,000,000.

Bibliografia

  • Wells, David;  The Penguin Book of Curious and Interesting Mathematics, Londra, Penguin Books, 1997.

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