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Gauss (costante di)

Analisi 

Cercando di capire la relazione tra x, y e agm(x, y), Gauss, non ancora ventenne, provò a calcolare agm(x, y) con alcune coppie di valori, tra le quali Radice quadrata di 2 e 1, ottenendo i valori mostrati nella seguente tabella (approssimati).

n

xn

yn

0

1.4142135624

1

1

1.2071067812

1.1892071150

2

1.1981569481

1.1981235215

3

1.1981402348

1.1981402347

4

1.1981402347

1.1981402347

 

Gauss notò che il valore finale era uguale a π diviso per la costante della lemniscata e scrisse nei suoi appunti che una dimostrazione avrebbe segnato un grande progresso per la matematica, ma non fu in grado di trovarla.

 

In omaggio al grande matematico, Formula per la definizione di G si chiama “costante di Gauss” ed è di solito indicata con G, mentre Formula per la definizione di M è di solito indicata con M.

Qui trovate le prime 20000 cifre decimali di G (Harry J. Smith, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Qui trovate le prime 20000 cifre decimali di M (Harry J. Smith, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Alcune formule per il calcolo delle costanti:

Formula per il calcolo di G;

Formula per il calcolo di G;

Formula per il calcolo di G;

Formula per il calcolo di G;

Formula per il calcolo di G;

Formula per il calcolo di G;

Formula per il calcolo di G;

Formula per il calcolo di G;

Formula per il calcolo di G;

Formula per il calcolo di M;

Formula per il calcolo di M;

Formula per il calcolo di M.

 

La funzione sigma di Weierstrass è definita come Formula per la definizione della funzione σ di Weierstrass, dove il prodotto va calcolato su tutti gli interi di Gauss, ovvero su tutti i valori ω = a + ib, con a e b interi. Per essa vale la sorprendente formula Formula per il valore di σ(1 / 2).

 

Formula per la definizione della seconda costante della lemniscata è talvolta chiamata “seconda costante della lemniscata”.

Formula per la definizione della costante ubiquitaria è talvolta chiamata “costante ubiquitaria”.

Qui trovate le prime 20000 cifre decimali della costante ubiquitaria (Harry J. Smith, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

T. Schneider dimostrò nel 1941 che la costante di Gauss è un numero trascendente.

 

Alle voci espansione di Lehmer, frazioni continue e frazioni continue centrate trovate ottime approssimazioni di G, M e della costante ubiquitaria.

Bibliografia

  • Berggren, Lenhart;  Borwein, Jonathan Michael;  Borwein, Peter Benjamin;  Pi: a Source Book, Springer-Verlag, 1997 -

    Tutto su π, ma non solo. Contiene anche un articolo di J. Todd sulla costante della lemniscata e un articolo di David A. Cox sulla media aritmetico-geometrica di Gauss.

  • Honsberger, Ross;  Mathematical Diamonds, The Mathematical Association of America, 2003 -

    Una stupenda raccolta di saggi su argomenti disparati.

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