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Lebesgue (costanti di) (I)

Analisi 

Henri Léon Lebesgue (Beauvais, Francia, 28/6/1875 – Parigi, 26/7/1941) dimostrò nel 1910 che se f(x) è una funzione che nell’intervallo [–π .. π] è integrabile e non maggiore di 1 in valore assoluto, e Sviluppo di f in serie di Fourier è lo sviluppo in serie di Fourier della funzione nello stesso intervallo, allora Limite superiore per il valore assoluto della somma dei primi n termini dello sviluppo in serie di Fourier, ovvero il valore assoluto della somma dei primi n termini del suo sviluppo in serie di Fourier non supera una costante, che dipende da n.

Tali costanti sono da allora chiamate “costanti di Lebesgue”.

 

Alcune formule per calcolare queste costanti:

Formula per il calcolo di L(n) (Zygmund 1959);

Formula per il calcolo di L(n);

Formula per il calcolo di L(n) (Hardy 1942).

 

Le costanti crescono al crescere di n: Limiti inferiore e superiore per il valore di L(n); più precisamente Limiti inferiore e superiore per il valore di L(n), dove Formula per la definizione di f(n), e Limite cui tende L(n).

 

Le costanti possono essere espresse in termini di funzioni trigonometriche di multipli razionali di π, ma la forma è relativamente semplice solo per le prime:

  • L0 = 1,

  • Valore di L(1),

  • Valore di L(2),

  • Valore di L(3),

  • Valore di L(4).

 

La tabella seguente riporta le costanti di Lebesgue fino a L20.

n

Ln

0

1

1

1.4359911242

2

1.6421884352

3

1.7783228615

4

1.8800805991

5

1.9613605938

6

2.0290369816

7

2.0870159388

8

2.1377308625

9

2.1828006472

10

2.2233569242

11

2.2602218767

12

2.2940116901

13

2.3252000893

14

2.3541591268

15

2.3811863429

16

2.4065234230

17

2.4303693572

18

2.4528899401

19

2.4742247665

20

2.4944924763

 

Vedi anche

Costanti di Landau.

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