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Primi fattoriali

Teoria dei numeri 

Si chiamano “primi fattoriali” i numeri primi della forma n! ± 1.

 

I primi di questa e di forme analoghe sono piuttosto rari; oggi si sa che:

  • n! + 1 è primo per n = 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154, 320, 340, 399, 427, 872 (Dubner, 1983), 1477 (Dubner, 1984), 6380 (Caldwell, 1998), 26951 (Ken Davis, Kuosa, 2002), 110059 (PrimeGrid, 2011), 150209 (PrimeGrid, 2013);

  • n! – 1 è primo per n = 3, 4, 6, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, 94, 166, 324, 379, 469 (Penk, Buhler e Crandall, 1981), 546 (Dubner, 1992), 974 (Dubner, Caldwell, 1992), 1963 (Dubner, Caldwell, 1992), 3507 (Caldwell, 1993), 3610 (Caldwell, 1993), 6917 (Caldwell, 1998), 21480 (K. Davis, Kuosa, 2001), 34790 (Marchal, Carmody, Kuosa, 2002), 94550 (Dmitry Domanov, PrimeGrid, 2010), 103040 (J. Winskill, PrimeGrid, 2010), 147855 (PrimeGrid, 2013), 208003 (S. Fukui, 2016);

  • n! + n + 1 è primo per n = 0, 1, 2, 4, 6, 10, 52, 6822 (T.D. Noe, 2008) e nessun altro intero inferiore a 1960;

  • n! + n – 1 è primo solo per n = 2, perché per n > 2 è multiplo di n – 1;

  • n! – n + 1 è primo solo per n = 0, perché per n > 2 è multiplo di n – 1;

  • n! – n – 1 è primo per n = 3, 4, 10, 12, 346 e nessun altro intero inferiore a 2000;

  • n!2 + 1 è primo per n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11, 13, 24, 65, 76 e per nessun altro valore fino a 16000 (Robert Price, 2011);

  • n!2 – 1 è primo solo per n = 2, perché per altri valori di n vale n!2 – 1 = (n! + 1)(n! – 1), quindi n!2 – 1 è composto, a meno che n! – 1 = 1, ossia n = 2; più in generale n!m – 1 è primo solo per n = 2 e solo se 2m – 1 è un primo di Mersenne (M. Le, 1998);

  • n!2 + n + 1 è primo per n = 0, 1, 2 e per nessun altro intero fino a 1000 (M. Fiorentini, 2016);

  • n!2 + n – 1 è primo solo per n = 2, perché per n > 2 è multiplo di n – 1;

  • n!2n + 1 è primo solo per n = 0 e n = 2, perché per n > 2 è multiplo di n – 1;

  • n!2n – 1 è primo per n = 4, 16, 46, 66, 72, 562 e per nessun altro intero fino a 1000 (M. Fiorentini, 2016);

  • n!2 + n! + 1 è primo per n = 0, 1, 2, 3, 4, 6, 76, 2837 (Serge Batalov, 2011), 6001 (Serge Batalov, 2011), 7076 (Serge Batalov, 2011) e per nessun altro intero fino a 7964;

  • n!2 + n! – 1 è primo per n = 2, 3, 4, 5, 6, 14, 17, 50, 111, 254, 506 (Farideh Firoozbakht, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org);

  • n!2n! + 1 è primo per n = 2, 3, 5, 7, 38, 2319, 2996, 3321, 3892 e per nessun altro intero fino a 5500;

  • n!2n! – 1 è primo per n = 3, 9, 10, 27, 85, 521 e per nessun altro intero fino a 1000 (M. Fiorentini, 2016).

 

Queste ricerche sono rese oggi possibili dall’avvento dei calcolatori elettronici, ma non sono comunque facili: si pensi che 1000! ha 2568 cifre e 10000! ne ha 35660.

 

Gli unici teoremi che conosca sull’argomento sono di M. Le (1998); oltre a quello già citato per i primi della forma n!m – 1 ve ne sono altri due:

  • se n è pari e maggiore di 2 e 2n + 1 è primo, n!2 + 1 è composto;

  • se m non è una potenza di 2, n!m + 1 è primo solo nel caso 1!m + 1 = 2.

 

Partendo dal teorema di Wilson, si dimostra facilmente che esistono infiniti valori di n per i quali n! – 1 o n! + 1 sono composti: basta prendere n = p – 2 nel primo caso e n = p – 1 nel secondo, con p primo. Schinzel dimostrò nel 1962 che per qualsiasi numero razionale r, esistono infiniti valori di n per i quali rn! + 1 è composto.

 

F. Russo avanzò nel 2000 la congettura che i primi della forma n!2 + 1 siano in numero finito.

 

Ho avanzato la congettura che gli unici primi della forma n!2 + n + 1 siano 3 e 7.

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