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Fattorizzazioni ordinate (numero di)

Matematica combinatoria  Teoria dei numeri 

Il numero di fattorizzazioni ordinate di un intero positivo n è il numero di modi H(n) di esprimere n come prodotto di interi maggiori di 1, contando separatamente prodotti che differiscono per l’ordine dei fattori. Per esempio, nel caso di 8 i quattro modi sono 8, 4 • 2, 2 • 4 e 2 • 2 • 2.

Se invece non si considerano distinte fattorizzazioni che differiscano per l’ordine dei fattori, abbiamo il numero di partizioni moltiplicative.

 

Il numero di fattorizzazioni ordinate di n è uguale al numero di partizioni perfette di n – 1.

Il numero di fattorizzazioni ordinate di 2n + 1 è uguale al numero di partizioni sub-perfette di n.

 

Per calcolarlo si può usare la formula Formula per il calcolo del numero di fattorizzazioni ordinate, con H(1) = 1, oppure sfruttare la scomposizione in fattori primi: se Scomposizione di n come prodotto di fattori primi, con i vari pk primi distinti, Formula per il calcolo del numero di fattorizzazioni ordinate (Mac Mahon, 1893), con Somma degli esponenti dei fattori primi nella scomposizione di n.

 

Dalle formule segue che:

  • per n = pk, con p primo, il numero di fattorizzazioni ordinate è 2k – 1;

  • se n ha esattamente due fattori primi, cioè Scomposizione di n come prodotto di potenze di due primi distinti, Formula per il calcolo del numero di fattorizzazioni ordinate e in particolare, se n = paq, con p e q primi distinti, H(n) = 2a – 1(a + 2) e se = paq2 con p e q primi distinti e a > 1, H(n) = 2a – 2(a2 + 7a + 8) (Benny Chor, Paul Lemke e Ziv Mador, 1997);

  • se n ha esattamente tre fattori primi, cioè Scomposizione di n come prodotto di potenze di tre primi distinti, con a1a2a3, Formula per il calcolo del numero di fattorizzazioni ordinate e in particolare, se n = paqr, con p, q e r primi distinti, H(n) = 2a – 1(a2 + 6a + 6) (Benny Chor, Paul Lemke e Ziv Mador, 1997).

 

Se p è un primo che divide n, Limite superiore per il numero di fattorizzazioni ordinate di n.

 

L. Kalmár dimostrò nel 1931 che Somma dei primi n numeri di fattorizzazioni ordinate tende a Limite cui tende la somma dei primi n numeri di fattorizzazioni ordinate, dove ρ = ζ–1(2) è la costante di Kalmár.

Sono stati dimostrati i limiti: Limite superiore per il numero di fattorizzazioni ordinate, per n > 1, (Martin Klazar e Florian Luca, 2008) e Limite superiore del numero di fattorizzazioni ordinate, per ogni ε > 0 (E. Hille, 1936).

Questo significa che H(n) supera infinite volte n, avvicinandosi a nρ, e che l’esponente non può essere ridotto; anzi esiste una costante positiva c tale che Limite inferiore per il numero di fattorizzazioni ordinate per infiniti valori di n (Martin Klazar e Florian Luca, 2008).

 

Benny Chor, Paul Lemke e Ziv Mador dimostrarono nel 1997 che esiste una sequenza infinita di interi tali che H(n) > n1.60524.

 

Per s diverso da 1 valgono le serie infinite Serie infinita che convolge il numero di fattorizzazioni ordinate e Serie infinita che convolge il numero di fattorizzazioni ordinate con esattamente k fattori maggiori di 1, dove H(n, k) è il numero di fattorizzazioni ordinate di n con esattamente k fattori maggiori di 1.

 

La tabella seguente mostra i valori di H(n) per n fino a 20.

n

H(n)

0

0

1

1

2

1

3

1

4

2

5

1

6

3

7

1

8

4

9

2

10

3

11

1

12

8

13

1

14

3

15

3

16

8

17

1

18

8

19

1

20

8

 

Come gli interi possono essere classificati in deficienti, perfetti e abbondanti, in base alla somma dei loro divisori, così le fattorizzazioni ordinate possono essere classificate in deficienti, bilanciate e abbondanti, a seconda che H(n) sia minore di n, uguale o maggiore.

Le fattorizzazioni deficienti sono la maggioranza (e comprendono in particolare tutti i primi), tuttavia vi sono infiniti numeri con fattorizzazioni ordinate abbondanti.

A. Knopfmacher e M.E. Mays dimostrarono nel 2005 che esistono infiniti numeri per i quali H(n) = n, detti “bilanciati (II)”.

Il minimo intero per il quale H(n) > n è 96: H(96) = 112.

 

Chiamando Hd(n) il numero di fattorizzazioni ordinate di n con fattori distinti e maggiori di 1 e Hd(n, k) il numero di fattorizzazioni ordinate di n con esattamente k fattori distinti maggiori di 1, vale ovviamente Formula per il numero di fattorizzazioni ordinate con fattori distinti. A. Knopfmacher e M.E. Mays dimostrarono nel 2005 che Formula per il numero di fattorizzazioni ordinate con esattamente k + 1 fattori distinti maggiori di 1, dove la seconda somma va calcolata su tutte le potenze di esponente m + 1 e maggiori di 1 che dividono n e bisogna prendere Hd(1, 0) = 1, Hd(1, 1) = 0.

In particolare:

  • se p è primo, Hd(p) = 1;

  • se p è primo e n > 1, Hd(pn) è uguale al numero di composizioni di n in parti distinte e non nulle;

  • se m è il prodotto di n primi distinti, Hd(m) = b*n, dove b*n è l’n-esimo numero di Bell ordinato;

  • se n non è multiplo di quadrati, Hd(n) = H(n).

 

La tabella seguente mostra i valori di Hd(n) per n fino a 20.

n

Hd(n)

0

0

1

1

2

1

3

1

4

1

5

1

6

3

7

1

8

3

9

1

10

3

11

1

12

5

13

1

14

3

15

3

16

3

17

1

18

5

19

1

20

5

 

Se n è multiplo di m fattori primi distinti, il numero di fattorizzazioni ordinate con fattori primi tra loro è il numero di Bell bm.

Bibliografia

  • Knopfmacher, Arnold;  Mays, E.M.;  "A Survey of Factorization Counting Functions" in International Journal of Number Theory, vol. 1, n. 4, 2005, pag 563 – 581.

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