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Fattorizzazioni ordinate (numero di)

Matematica combinatoria  Teoria dei numeri 

Il numero di fattorizzazioni ordinate di un intero positivo n è il numero di modi H(n) di esprimere n come prodotto di interi maggiori di 1, contando separatamente prodotti che differiscono per l’ordine dei fattori. Per esempio, nel caso di 8 i quattro modi sono 8, 4 • 2, 2 • 4 e 2 • 2 • 2.

Se invece non si considerano distinte fattorizzazioni che differiscano per l’ordine dei fattori, abbiamo il numero di partizioni moltiplicative.

 

Il numero di fattorizzazioni ordinate di n è uguale al numero di partizioni perfette di n – 1.

Il numero di fattorizzazioni ordinate di 2n + 1 è uguale al numero di partizioni sub-perfette di n.

 

Per calcolarlo si può usare la formula Formula per il calcolo del numero di fattorizzazioni ordinate, con H(1) = 1, oppure sfruttare la scomposizione in fattori primi: se Scomposizione di n come prodotto di fattori primi, con i vari pk primi distinti, Formula per il calcolo del numero di fattorizzazioni ordinate (Mac Mahon, 1893), con Somma degli esponenti dei fattori primi nella scomposizione di n.

 

Dalle formule segue che:

  • per n = pk, con p primo, il numero di fattorizzazioni ordinate è 2k – 1;

  • se n ha esattamente due fattori primi, cioè Scomposizione di n come prodotto di potenze di due primi distinti, Formula per il calcolo del numero di fattorizzazioni ordinate (Benny Chor, Paul Lemke e Ziv Mador, 1997).

  • se n ha esattamente tre fattori primi, cioè Scomposizione di n come prodotto di potenze di tre primi distinti, con a1a2a3, Formula per il calcolo del numero di fattorizzazioni ordinate (Benny Chor, Paul Lemke e Ziv Mador, 1997).

 

Se p è un primo che divide n, Limite superiore per il numero di fattorizzazioni ordinate di n.

 

L. Kalmár dimostrò nel 1931 che Somma dei primi n numeri di fattorizzazioni ordinate tende a Limite cui tende la somma dei primi n numeri di fattorizzazioni ordinate, dove ρ = ζ–1(2) è la costante di Kalmár.

Sono stati dimostrati i limiti: Limite superiore per il numero di fattorizzazioni ordinate, per n > 1, (Martin Klazar e Florian Luca, 2008) e Limite superiore del numero di fattorizzazioni ordinate, per ogni ε > 0 (E. Hille, 1936).

Questo significa che H(n) supera infinite volte n, avvicinandosi a nρ, e che l’esponente non può essere ridotto; anzi esiste una costante positiva c tale che Limite inferiore per il numero di fattorizzazioni ordinate per infiniti valori di n (Martin Klazar e Florian Luca, 2008).

 

La tabella seguente mostra i primi valori.

n

H(n)

0

0

1

1

2

1

3

1

4

2

5

1

6

3

7

1

8

4

9

2

10

3

11

1

12

8

13

1

14

3

15

3

16

8

17

1

18

8

19

1

20

8

 

Come gli interi possono essere classificati in deficienti, perfetti e abbondanti, in base alla somma dei loro divisori, così le fattorizzazioni ordinate possono essere classificate in deficienti, bilanciate e abbondanti, a seconda che H(n) sia minore di n, uguale o maggiore.

Le fattorizzazioni deficienti sono la maggioranza (e comprendono in particolare tutti i primi), tuttavia vi sono infiniti numeri con fattorizzazioni ordinate abbondanti.

A. Knopfmacher e M.E. Mays dimostrarono nel 2005 che esistono infiniti numeri per i quali H(n) = n, detti “bilanciati (II)”.

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