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Partizioni perfette (numero di)

Matematica combinatoria 

Si dicono “perfette”, secondo la definizione data da Mac Mahon nel 1886, le partizioni di un numero naturale tali che ogni numero naturale inferiore possa essere espresso in esattamente un modo come somma di numeri della partizione.

Per esempio, sono perfette le seguenti partizioni di 7: 4 + 2 + 1, 4 + 1 + 1 + 1, 2 + 2 + 2 + 1 e 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1. Non sono invece perfette 5 + 1 + 1, perché questi numerinon permettono di ottenere 3 come somma, né 3 + 2 + 1 + 1, perché ci sono due modi distinti di ottenere 2: 2 e 1 + 1.

 

La partizione formata da n volte 1 è perfetta, quindi ogni numero naturale ha almeno una partizione perfetta.

 

Per n = pk – 1, con p primo, il numero di partizioni perfette è 2k – 1.

 

Mac Mahon dimostrò che il numero di partizioni perfette di n è uguale al numero di fattorizzazioni ordinate di n + 1 (per la dimostrazione si veda Mathematical gems III, citato nella bibliografia).

Bibliografia

  • Honsberger, Ross;  Mathematical Gems III, The Mathematical Association of America,, 1985.

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