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Partizioni moltiplicative (numero di)

Matematica combinatoria 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Numero di partizioni moltiplicative con fattori distinti
  3. 3. Numero di partizioni moltiplicative con fattori non primi

Il numero di partizioni moltiplicative con fattori distinti pd(n) è il numero di modi per ottenere un intero come prodotto di interi differenti maggiori di 1, senza considerare l’ordine dei fattori.

Per esempio, pd(12) = 4, perché ci sono 3 modi di esprimere 12 come prodotto di interi differenti: 12, 2 • 6 e 3 • 4.

Se n non è multiplo di quadrati pm(n) = pd(n).

 

Definendo pd(n, m) come il numero di partizioni moltiplicative con fattori distinti nelle quali il fattore maggiore è minore di m, per il numero di partizioni moltiplicative con fattori distinti vale una formula simile a quella per il numero di partizioni moltiplicative: Formula per il numero di partizioni moltiplicative con fattori differenti con pd(1, m) = 1, mentre pd(n) = pd(n, n + 1) = pd(n, n) + 1, per n > 1.

 

A. Knopfmacher e M.E. Mays dimostrarono nel 2014 che Formula che coinvolge il numero di partizioni moltiplicative con fattori differenti, dove la somma va calcolata per tutti i quadrati che dividono n. In particolare:

  • se n = p2q, dove p è primo e q è il prodotto di primi distinti diversi da p, pm(n) = pd(n) + pm(q);

  • se n = p3q, dove p è primo e q è il prodotto di primi distinti diversi da p, pm(n) = pd(n) + pm(pq);

  • se n = p4q, dove p è primo e q è il prodotto di primi distinti diversi da p, pm(n) = pd(n) + pd(p2q) + 2pm(q);

  • se n = p5q, dove p è primo e q è il prodotto di primi distinti diversi da p, pm(n) = pd(n) + pd(p3q) + 2pm(pq);

  • se n = p2q2r, dove p e q sono primi distinti è r il prodotto di primi distinti diversi da p e q, pm(n) = pd(n) + pd(p2r) + pd(q2r) + 2pm(r).

 

La tabella seguente mostra pd(n) per n sino a 20.

n

pd(n)

1

1

2

1

3

1

4

1

5

1

6

2

7

1

8

2

9

1

10

2

11

1

12

3

13

1

14

2

15

2

16

2

17

1

18

3

19

1

20

3

 

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