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Partizioni moltiplicative (numero di)

Matematica combinatoria 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Numero di partizioni moltiplicative con fattori distinti
  3. 3. Numero di partizioni moltiplicative con fattori non primi

Il numero di partizioni moltiplicative, detto anche “numero di fattorizzazioni non ordinate”, pm(n) è il numero di modi per ottenere un intero come prodotto di interi maggiori di 1, senza considerare l’ordine dei fattori.

Per esempio, pm(12) = 4, perché ci sono 4 modi di esprimere 12 come prodotto di interi: 12, 2 • 6, 3 • 4 e 2 • 2 • 3.

Se si considerano separatamente le possibili permutazioni dei fattori, abbiamo il numero di fattorizzazioni ordinate.

 

Nel 1983 J.F. Hughes, J.O. Shallit dimostrarono che, definendo pm(n, m) come il numero di partizioni moltiplicative nelle quali la parte maggiore non supera m, Formula per il numero di partizioni moltiplicative e naturalmente pm(n) = pm(n, n).

 

Nel 1991 V. C. Harris, M. V. Subbarao dimostrarono che, definendo b(n, m) come n^(1 / m), se n è una potenza m-esima, 1 altrimenti e f(n) come Formula per la definizione di f(n)Formula che coinvolge il numero di partizioni moltiplicative e quindi Formula per il numero di partizioni moltiplicative. Questo metodo per il calcolo di pm(n) è però utilizzabile solo per valori relativamente piccoli di n.

 

La tabella seguente mostra i numeri di partizioni moltiplicative per n sino a 20.

n

pm(n)

1

1

2

1

3

1

4

2

5

1

6

2

7

1

8

3

9

2

10

2

11

1

12

4

13

1

14

2

15

2

16

5

17

1

18

4

19

1

20

4

 

Se n = pk, con p primo, pm(n) = p(k), dove p(k) è il numero di partizioni di n.

Se p è un primo che non divide nFormula per il numero di partizioni moltiplicative e in particolare se n = pqm, con p e q primi, Formula per il numero di partizioni moltiplicative dove p(k) è il numero di partizioni di n.

Se n è il prodotto di m primi distinti, pm(n) è il numero di Bell bm.

 

La funzione generatrice del numero di partizioni moltiplicative è Funzione generatrice del numero di partizioni moltiplicative (Eulero).

 

La funzione pm(n) cresce, ma in modo irregolare, scendendo infinite volte a 1 (per i numeri primi).

 

E.R. Canfield, Paul Erdös e Carl Pomerance dimostrarono nel 1981 che esistono una costante C1, tale che per infiniti valori di n Limite inferiore per il numero di partizioni moltiplicative, e una costante C2 tale che Limite superiore per il numero di partizioni moltiplicative.

 

L.E. Mattics e F.W. Dodd dimostrarono nel 1986 che pm(n) ≤ n e che Limite superiore per il numero di partizioni moltiplicative per tutti i valori di n tranne 144: pm(144) = 29 > 144 / log(144). Nel 1987 gli stessi matematici dimostrarono che per ogni valore positivo di α, Limite superiore per il numero di partizioni moltiplicative, per n abbastanza grande.

 

Somma dei primi n numeri di partizioni moltiplicative tende a Limite cui tende la somma dei primi n numeri di partizioni moltiplicative (A. Oppenheim, 1926).

 

Se n è multiplo di m fattori primi distinti, il numero di partizioni moltiplicative con fattori primi tra loro è il numero di Bell ordinato b*m.

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