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Irrazionali (numeri)

Algebra 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Criteri per l’irrazionalità
  3. 3. Numeri dimostrati irrazionali

Sono stati dimostrati irrazionali, tra gli altri, i seguenti numeri:

  • le radici di un polinomio a coefficienti interi con coefficienti del termine di grado massimo uguale a 1, se non sono intere e quindi in particolare le radici n-esime degli interi che non sono potenze n-esime;

  • ?x, per x irrazionale non quadratico (v. funzione ?);

  • Somma infinita con valore irrazionale, se an è una sequenza di interi tale che a(n)^(1 / 2^n) tenda a infinito;

  • Somma infinita con valore irrazionale, se an è una sequenza crescente di interi, tali che il numero di elementi minori di n sia maggiore di n(1 – log2 + ε), per n abbastanza grande e un qualche ε > 0 (Paul Erdös);

  • Somma infinita con valore irrazionale, se an è una sequenza di interi maggiori di 2, tali che a(n + 1) ≥ a(n)^2 – a(n) + 1, a meno che a(n + 1) = a(n)^2 – a(n) + 1, per n abbastanza grande, nel qual caso il valore della somma è razionale (v. numeri di Sylvester) (Sylvester, 1880);

  • Somma infinita con valore irrazionale, se an è una sequenza crescente di interi positivi, tali che Limite superiore di a(n + 1) / a(n)^2 maggiore o uguale a 1 e che mcm(a(0), a(1), ..., a(n)) / a(n + 1) sia limitato, a meno che a(n + 1) = a(n)^2 – a(n) + 1, per n abbastanza grande, nel qual caso il valore della somma è razionale (v. numeri di Sylvester) (P. Erdös e E.G. Straus, 1963);

  • Somma infinita con valore irrazionale, dove an = pan – 1 ± an – 2, è una sequenza di numeri di Fibonacci generalizzati, nella quale i termini generali si possono calcolare come an = c1αn + c2βn, per opportune costanti c1, c2, α e β, se p, a0 e a1 sono interi non nulli, con |α| > |β| e c1c2 ≠ 0 (Richard André-Jeannin, 1989) e in particolare Somma infinita con valore irrazionale (v. costante del reciproco di Fibonacci) e Somma infinita con valore irrazionale, poi dimostrata trascendente da Y. Nesterenko nel 1996;

  • Somma infinita con valore irrazionale, dove Un = pUn – 1 + qUn – 2, U0 = 0, U1 = 1 è una sequenza di numeri di Fibonacci generalizzati con p e q interi maggiori di zero e an è una sequenza di interi tali che an + 1 ≥ 2an – 1 per n abbastanza grande (C. Badea, 1993);

  • Somma infinita con valore irrazionale, dove Vn = pVn – 1 + qVn – 2, V0 = q + 1, V1 = p è una sequenza di numeri di Lucas generalizzati con p e q interi maggiori di zero e an è una sequenza di interi tali che an + 1 ≥ 2an per n abbastanza grande (C. Badea, 1993);

  • Somma infinita con valore irrazionale per ogni sequenza di interi positivi bn, se an è una sequenza irrazionale;

  • Somma infinita con valore irrazionale, se an è una sequenza crescente di interi, divisibili solo per un qualsiasi sottoinsieme anche infinito dei primi;

  • Somma infinita con valore irrazionale, se m è un intero positivo maggiore di 1 (Liouville);

  • Somma infinita con valore irrazionale, se a è un intero maggiore di 1 e i vari bn sono interi, anche negativi, tali che a2n + bn non sia zero per alcun valore di n e che Serie convergente sia convergente (P. Erdös e E.G. Straus, 1963);

  • Somma infinita con valore irrazionale e Somma infinita con valore irrazionale, se q è intero diverso da 0 e 1 e r è razionale diverso da zero (Peter B. Borwein, 1991); in particolare, per esempio, la costante di Erdös – Borwein è irrazionale;

  • Somma infinita con valore irrazionale, se bn è una sequenza di interi, con valori assoluti limitati superiormente, tali che 22n + bn non sia zero per alcun valore di n (Erdös e Graham) e in particolare la somma dei reciproci dei numeri di Fermat Somma infinita con valore irrazionale (Solomon W. Golomb, 1963);

  • Somma infinita con valore irrazionale, se i vari an sono interi tali che an + 1an(an + 1) per n abbastanza grande (W. Sierpiński, 1911);

  • Somma infinita con valore irrazionale, se an è una sequenza di interi positivi, tali che a(2 * n + 1) ≥ a(2 * n – 1) * a(2 * n) * (a(2 * n – 1) * a(2 * n) – 1)) / (a(2 * n) – a(2 * n – 1)) per n abbastanza grande (Daniel Duverney, 2001);

  • Somma infinita con valore irrazionale, se la serie è convergente e i vari an e bn sono interi maggiori di zero, tali cheb(n + 1) ≥ a(n + 1) / a(n) * (b(n)^2 – b(n)) + 1  per n abbastanza grande, a meno che b(n + 1) = a(n + 1) / a(n) * (b(n)^2 – b(n)) + 1 per n abbastanza grande, nel qual caso il valore della somma è razionale (C. Badea, 1987);

  • Somma infinita con valore irrazionale, se a e i vari bn sono interi maggiori di zero, tali che b1 > 2 e a * b(n – 1)^2 – (3 * a – 1) * b(n – 1) < b(n) < a * b(n – 1)^2 – a * b(n – 1) per n abbastanza grande (J. Hančl, 1996);

  • Somma infinita con valore irrazionale, se a(n) / b(n) è una sequenza decrescente di numeri razionali positivi, tali che b(2 * n + 1) * b(2 * n + 2) ≥ 1 + b(2 * n – 1) * b(2 * n) * (b(2 * n – 1) * b(2 * n) – 1) * (a(2 * n + 1) * b(2 * n + 2) – a(2 * n + 2) * b(2 * n + 1)) / (a(2 * n – 1) * b(2 * n) – a(2 * n) * b(2 * n – 1)) per n abbastanza grande, a meno che b(2 * n + 1) * b(2 * n + 2) = 1 + b(2 * n – 1) * b(2 * n) * (b(2 * n – 1) * b(2 * n) – 1) * (a(2 * n + 1) * b(2 * n + 2) – a(2 * n + 2) * b(2 * n + 1)) / (a(2 * n – 1) * b(2 * n) – a(2 * n) * b(2 * n – 1)), per n abbastanza grande (C. Badea, 1993);

  • Somma infinita con valore irrazionale, se an è una sequenza di interi tale che la differenza tra termini successivi tenda a infinito (Paul Erdös, 1981);

  • Somma infinita con valore irrazionale, se an è una sequenza crescente di interi maggiori di 1 (Paul Erdös e Ernst G. Straus, 1971);

  • Somma infinita con valore irrazionale, se a è un intero maggiore di 1, c è 1 o –1 e i vari bn sono interi, anche negativi, tali che a2n + bn non sia zero per alcun valore di n e che Serie convergente sia convergente (Daniel Duverney, 2001);

  • Somma infinita con valore irrazionale, se a è un intero maggiore di 1, i vari cn sono interi non nulli e tali che Limite per n tendente a infinito di log(c(n)) minore di k * 2^n per qualsiasi costante k, i vari bn siano razionali tali che Limite per n tendente a infinito di log(b(n)) minore di k * 2^n per qualsiasi costante k e a2n + bn non sia zero per alcun valore di n, tranne nel caso in cui per n abbastanza grande cn = k2n per una costante k e bn = 1 (Daniel Duverney, 2001);

  • Somma infinita con valore irrazionale, se i vari an sono razionali non nulli e tali che Limite per n tendente a infinito di log(a(n)) minore di k * 2^n per qualsiasi costante k, i vari bn siano razionali tali che Limite per n tendente a infinito di log(b(n)) minore di k * 2^n per qualsiasi costante k e F2n + bn non sia zero per alcun valore di n (Daniel Duverney, 2001).

 

Inoltre sono state dimostrate irrazionali alcune costanti:

  • Somma infinita con valore irrazionale (C. Badea, 1987);

  • Somma infinita con valore irrazionale (C. Badea, 1987);

  • la costante di Apéry ζ(3) ≈ 1.2020569032 (Apéry, 1979);

  • Somma infinita con valore irrazionale e Somma infinita con valore irrazionale (Paul Erdös e M. Kac, 1954);

  • π + eπ ≈ 26.2822852864(Nesterenko 1996).

 

A questi vanno naturalmente aggiunti tutti i numeri dimostrati trascendenti.

 

Non sono però state neppure dimostrate irrazionali alcune semplici costanti, che si sospetta siano trascendenti, come: γ, nπ + me, con n e m interi, π / e, 2e, ee, πe, π^sqrt(2).

Bibliografia

  • Greco, Pietro;  Storia di π, Roma, Carocci editore, 2016.
  • Honsberger, Ross;  In Pólya’s Footsteps, The Mathematical Association of America, 1997 -

    Una magnifica raccolta di problemi a sfondo matematico e geometrico di vario tipo.

  • Livio, Mario;  Dio è un matematico, Milano, Rizzoli, 2009.
  • Melfi, Giuseppe;  On some Modular Identities, Articolo disponibile in rete, 1998.
  • Niven, Ivan;  Irrational Numbers, Washington, Mathematical Association of America, 1956.
  • Pappas, Theoni;  Mathematical Scandals, San Carlos, Wide World Publishing/Tetra, 1997.
  • Stillwell, John;  Yearning for the Impossible, A.K. Peters, 2006.

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