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Irrazionali (numeri)

Algebra 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Criteri per l’irrazionalità
  3. 3. Numeri dimostrati irrazionali

Un criterio relativamente semplice per dimostrare l’irrazionalità di un numero reale x è il seguente: se esistono due sequenze di interi pn e qn, tali che 0 < |x – p(n) / q(n)| < ε(n) / q(n)  e Limite di ε(n) per n tendente a infinito uguale a zero, x è irrazionale.

 

Nel 1911 W. Sierpiński dimostrò che se an è una successione di interi positivi tali che an + 1an(an + 1), Serie convergente a un numero irrazionale è irrazionale.

 

Nel 1987 C. Badea dimostrò che se an e bn sono due successioni di interi positivi tali che per n abbastanza grande a(n + 1) > b(n + 1) / b(n) * (a(n)^2 – a(n)) + 1, se la serie Serie convergente a un numero irrazionale è convergente, la somma è irrazionale.

Nel 1993 lo stesso matematico estese il teorema dimostrando che se se an e bn sono due successioni di interi positivi, n(k) è una sequenza crescente di interi positivi e la serie Serie convergente converge, definendo Formula per la definizione di R(k) sono possibili 3 casi:

  • la somma è irrazionale;

  • per ogni sequenza crescente di interi positivi n(k), esistono infiniti valori di k tali che Diseguaglianza soddisfatta per infiniti valori di k;

  • esiste una sequenza crescente di interi positivi n(k) tale che Uguaglianza soddisfatta per k abbastanza grande, per k abbastanza grande.

Alcune conseguenze:

  • se an e bn sono due successioni di interi positivi, la serie Serie convergente converge a un numero razionale e per n abbastanza grande a(n + 1) ≥ b(n + 1) / b(n) * (a(n)^2 – a(n)) + 1, allora a(n + 1) = b(n + 1) / b(n) * (a(n)^2 – a(n)) + 1 per n abbastanza grande;

  • se xn è una successione definita come x0 = 0, x1 = 1, xn + 1 = axn + bxn – 1 con a e b interi positivi e cn è una successione di interi positivi, tali che cn + 1 ≥ 2cn – 1 per n abbastanza grande, Serie convergente a un numero irrazionale converge a un numero irrazionale;

  • se yn è una successione definita come y0 = 1, y1 = a2 + b + 1, yn + 1 = ayn + yxn – 1 con a e b interi positivi e cn è una successione di interi positivi, tali che cn + 1 ≥ 2cn – 1 per n abbastanza grande, Serie convergente a un numero irrazionale converge a un numero irrazionale;

  • se an e bn sono due successioni di interi positivi tali che b(n) / a(n) sia decrescente e per ogni n a(2 * n + 1) * a(2 * n + 2) ≥ a(2 * n – 1) * a(2 * n) * (a(2 * n – 1) * a(2 * n) – 1) * (a(2 * n + 2) * b(2 * n + 1) – a(2 * n + 1) * b(2 * n + 2)) / (a(2 * n) * b(2 * n – 1) – a(2 * n – 1) * b(2 * n)), se Serie convergente a un numero razionale è razionale, nella precedente disuguaglianza vale l’uguaglianza per n abbastanza grande;

  • se an è una successione di interi positivi tali che a(2 * n + 1) ≥ 1 + a(2 * n – 1) * a(2 * n) * (a(2 * n – 1) * a(2 * n) – 1) / (a(2 * n) – a(2 * n – 1)) per n abbastanza grande, Serie convergente a un numero irrazionale converge a un numero irrazionale.

 

Yun Gao e Jining Gao dimostrarono nel 2008 che una serie definita come Somma di c(n) per n da 1 a infinito, con c(n) = a(n) / b(n) e an e bn interi converge a un numero irrazionale se valgono tre condizioni:

  • bn divide bn + 1;

  • Condizione che un limite deve soddisfare;

  • Somma di c(n) per n da k a infinito è diverso da 0 per qualsiasi valore di k.

La terza condizione è automaticamente soddisfatta se i vari cn sono maggiori di zero.

I due matematici dimostrarono inoltre che se Formula per la definizione di α e Formula per la definizione di β sono due numeri irrazionali in base al precedente teorema, tutti i cn e cn sono maggiori di zero, Condizione che un limite deve soddisfare e Condizione che un limite deve soddisfare, allora anche α + β è irrazionale.

 

Se c(n) =1 / a^P(n), dove P(n) è un polinomio a coefficienti interi positivi, Somma di c(n) per n da 1 a infinito converge a un numero irrazionale se e solo se Condizione che un limite deve soddisfare.

 

Nel 2001 Daniel Duverney dimostrò che date tre sequenze di interi an, bn e cn, se valgono le seguenti condizioni:

  • i vari an e bn sono diversi da zero;

  • i vari cn sono maggiori di zero;

  • Limite per n tendente a infinito di c(n) uguale a infinito;

  • k1 * c(n)^2 ≤ c(n + 1)^2 ≤ k2 * c(n)^2, per due costanti positive k1 e k2;

  • |a(n)| ≤ k * c(n)^α, per una costante k, 0 < α < 1 / 7 e n abbastanza grande;

  • |b(n)| ≤ k * c(n)^ε, per una costante k, qualsiasi 0 < ε e n abbastanza grande;

Se Somma per n da zero a infinito di a(n) / (b(n) * c(n)) è razionale, esistono due sequenze di interi positivi pn e qn, dipendenti solo da cn, tali che per n abbastanza grande Condizione soddisfatta dai vari c(n) e per ogni valore di μ con 3α < μ < 1 – 4α:

  • p(n) ≤ k * c(n)^(μ – 2) * c(n – 1), per una costante k e n abbastanza grande;

  • q(n) ≤ k * c(n)^μ, per una costante k e n abbastanza grande;

  • |c(n + 1) / c(n)^2 – p(n) / q(n)| ≤ 1 / (q(n) * c(n)^μ).

Da questo teorema segue che se una funzione f(x) è definita come Sviluppo in serie di potenze della funzione f(x), con i vari cn interi positivi, Limite per n tendente a infinito di c(n) uguale a infinito e k1 * c(n)^2 ≤ c(n + 1)^2 ≤ k2 * c(n)^2 per due costanti positive k1 e k2, f(x) è irrazionale per x razionale, tranne al massimo per un valore di x. Inoltre se cn è una sequenza di interi maggiori di zero che tende a infinito, Somma per n da zero a infinito di c(n + 1) / c(n)^2 – 1 minore di infinito e i vari an sono 1 o –1, Somma per n da zero a infinito di a(n) / c(n) è razionale se e solo se c(n + 1) = c(n)^2 – a(n + 1) / a(n) * c(n) + a(n + 1) / a(n + 1).

 

Dato un intero k, esistono infiniti numeri irrazionali r tali che Massimo intero non superiore a r^n più uno sia un multiplo di k per ogni valore intero di n maggiore di zero. In particolare la proprietà vale se Formula per r, per p > k. Per esempio, per k = 3, si può prendere p = 4, nel qual caso r = 6 + 3 * sqrt(3) e Massimo intero non superiore a r^n più uno è un multiplo di 3 per qualsiasi valore positivo di n.

Dimostrare l’esistenza di un valore di r per ogni intero k maggiore di zero era un problema proposto dalla Yugoslavia per le Olimpiadi Internazionali di matematica del 1987.

 

E’ noto che esistono numeri razionali x e y tali che xy sia irrazionale; un semplice esempio è dato da 2^(1 / 2) = sqrt(2); è possibile l’inverso, ossia esistono numeri irrazionali x e y tali che xy sia razionale?

La risposta è affermativa ed esiste una semplice dimostrazione di esistenza, non costruttiva. Consideriamo sqrt(2)^sqrt(2): se è irrazionale, allora x = y = sqrt(2) sono i numeri irrazionali cercati, altrimenti x = sqrt(2)^sqrt(2)y = sqrt(2) sono due numeri irrazionali e (sqrt(2)^sqrt(2))^sqrt(2) = 2 è razionale.

Si possono anche costruire esplicitamente infiniti casi del genere: per esempio, per x = 2^sqrt(2) e y = sqrt(2), entrambi irrazionali, abbiamo (2^sqrt(2))^sqrt(2) = 2.

Infiniti altri esempi si possono costruitre utilizzando i logaritmi, come elog2 = 2.

Bibliografia

  • Greco, Pietro;  Storia di π, Roma, Carocci editore, 2016.
  • Honsberger, Ross;  In Pólya’s Footsteps, The Mathematical Association of America, 1997 -

    Una magnifica raccolta di problemi a sfondo matematico e geometrico di vario tipo.

  • Livio, Mario;  Dio è un matematico, Milano, Rizzoli, 2009.
  • Melfi, Giuseppe;  On some Modular Identities, Articolo disponibile in rete, 1998.
  • Niven, Ivan;  Irrational Numbers, Washington, Mathematical Association of America, 1956.
  • Pappas, Theoni;  Mathematical Scandals, San Carlos, Wide World Publishing/Tetra, 1997.
  • Stillwell, John;  Yearning for the Impossible, A.K. Peters, 2006.

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