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Irrazionali (numeri)

Algebra 

Si chiamano “irrazionali” i numeri reali non razionali, cioè non esprimibili come frazioni con numeratore e denominatore interi.

Rappresentati in una qualsiasi base intera i numeri irrazionali si esprimono con una sequenza di cifre finita o infinita ma periodica.

 

La loro stessa esistenza non è affatto ovvia: la scuola pitagorica credette per un certo periodo che tutti i numeri si potessero esprimere come frazioni e la scoperta che questo non è vero per Radice quadrata di 2 creò enorme costernazione, perché sembrava venir meno uno dei fondamenti della matematica. Il segreto fu gelosamente custodito, tanto da uccidere, secondo la leggenda, Ippaso, reo d’averlo divulgato.

Esistono varie versioni della leggenda: secondo alcuni Ippaso perì in un naufragio, secondo altri fu gettato in mare da una nave dai suoi compagni (istigati da Pitagora?) per punirlo, ma di cosa?

  • D’aver scoperto l’esistenza dei numeri irrazionali, minando l’autorità di Pitagora.

  • D’averne divulgata l’esistenza.

  • D’aver divulgato la scoperta del dodecaedro regolare, quinto e ultimo solido platonico.

  • Di opporsi al maestro su altre questioni.

E’ poco probabile che i compagni abbiano organizzato un viaggio per mare, comunque costoso e non privo di pericoli a quei tempi, solo per punire qualcuno, essendo disponibili metodi più semplici e diretti. A meno che la scoperta sia avvenuta casualmente proprio durante una traversata, preferisco credere che lo sfortunato Ippaso sia perito in un incidente e che poi la storia della sua morte sia stata “arricchita” di particolari, magari dagli avversari.

La fonte comunemente citata è il filosofo Giambilico, che narrò l’evento nel 300 d.C. circa, asserendo che al reo fu eretta una tomba, come se non facesse più parte del regno dei vivi. Questa versione farebbe supporre una cacciata dalla scuola, piuttosto che una conclusione più infausta della vicenda, ma narrando lo scrittore fatti antichi di 8 secoli, non può essere considerato totalmente attendibile.

 

Teodoro di Cirene (V secolo a.C.) dimostrò l’irrazionalità delle radici quadrate degli interi che non sono quadrati, sino a 17; non è chiaro perché non abbia esteso la dimostrazione a tutte le radici quadrate degli interi che non sono quadrati (v. costante di Hlawka).

 

Spetta a Eudosso di Cnido (408 a.C. – 355 a.C.) il merito cercato di dare una prima sistemazione teorica ai numeri irrazionali, ammettendo che le “misure” possano assumere qualsiasi valore, mentre i “numeri” sono multipli di una qualche unità elementare, sconosciuta e piccolissima.

 

Comunque i Greci non amavano i numeri irrazionali: il ventisettesimo problema di Diofanto era trovare due numeri, dati prodotto e somma, e la soluzione, in termini moderni, si trova con un’equazione di secondo grado, che può portare a soluzioni irrazionali. In questo caso Diofanto non ammetteva numeri come Radice quadrata di 5, ma considerava impossibile il problema.

 

E’ forse un segno del nostro modo differente di vedere le cose il fatto che oggi questi numeri siano chiamati “irrazionali”, cioè non-razionali, ossia semplicemente non esprimibili mediante rapporti, mentre Pitagora chiamava un numero come Radice quadrata di 2 ἄλογος, cioè “assurdo” (ma forse sarebbe meglio tradurre come “inesprimibile” o “incommensurabile”), oltre che ἄρρητος, cioè “arcano”, ma anche “orribile”.

 

Euclide complicò la questione, distinguendo nel libro X degli Elementi tra numeri “commensurabili” e non (che oggi chiamiamo “razionali” e “irrazionali”), ma anche tra “esprimibili” (usando per questi il termine ῥητός), considerando tali due numeri i cui quadrati hanno un rapporto irrazionale, e inesprimibili (usando per questi il termine ἄλογος). In questo modo riservava alle radici quadrate dei numeri razionali una dignità in qualche modo intermedia tra i numeri razionali e gli altri, completamente inesprimibili.

Euclide ebbe il merito però di dimostrare (nel libro XIII degli Elementi) che il rapporto tra gli spigoli di tetraedro, cubo e ottaedro sono esprimibili rispetto al raggio della sfera circoscritta (e quindi tra loro), mentre non lo sono gli spigoli di dodecaedro e icosaedro, dando così il primo esempio di dimostrazione di irrazionalità di numeri diversi dalle radici quadrate di interi.

 

I termini “razionale” e “irrazionale” (in latino) furono usati per la prima volta da Cassiodoro, segretario di Teodorico, intorno al 500.

Un millennio dopo si levò una voce di protesta contro il termine: il matematico olandese Simon Stevin nel 1585 propose i termini “incommensurabile” per una coppia di numeri con rapporto irrazionale e “aritmetici” per i numeri razionali. La sua osservazione non era priva di merito e mirava a ridurre la diffidenza nei confronti di questi numeri, ma non fu accolta.

 

Non è chiaro se i matematici precedenti, soprattutto babilonesi, credessero che le loro approssimazioni mediante frazioni di vari numeri irrazionali (in particolare π e varie radici quadrate) potessero teoricamente arrivare a un valore esatto (razionale) o fossero consci dell’impossibilità.

Dato che nel caso delle radici quadrate è immediato verificare, con una moltiplicazione, se il valore è corretto o meno, è logico presumere che sapessero che i valori in uso erano solo approssimazioni, più che sufficienti però per scopi pratici: il valore riportato sulla tavoletta 7289 della collezione babilonese di Yale per la radice quadrata di 2, cioè Approssimazione babilonese per la radice quadrata di 2, è corretto sino alla sesta cifra decimale.

 

I Śulbasūtra, l’unico testo indiano del periodo vedico che tratti di matematica, databili tra l’800 a.C. e il 500 a.C., riportano approssimazioni per alcuni radicali quadratici e secondo alcuni sembrerebbero presupporre per questi la nozione di irrazionalità.

Il matematico indiano Manava (750 a.C. circa – 690 a.C.) era a conoscenza del fatto che alcune radici quadrate non possono essere determinate con precisione, cioè non sono razionali.

 

Il matematico egiziano Abū Kāmil Shujā ibn Aslam (850 circa – 930 circa) fu il primo ad accettare esplicitamente numeri irrazionali, sia come soluzioni di equazioni quadratiche, che come coefficienti di equazioni (sotto forma di radici fino al quarto grado).

 

Dato che è molto più facile dimostrare che un numero è irrazionale, piuttosto che trascendente, non sorprende che si sappia che i numeri di moltissime categorie sono irrazionali.

Sono stati dimostrati irrazionali, tra gli altri, i seguenti numeri:

  • le radici di un polinomio a coefficienti interi con coefficienti del termine di grado massimo uguale a 1, se non sono interi e quindi in particolare le radici n-esime degli interi che non sono potenze n-esime;

  • i numeri trascendenti e in particolare sinr, cosr e tanr, se r è razionale e diverso da 0, er e πr, se r è razionale e diverso da 0, lognm, se n e m sono interi e uno dei due è divisibile per un numero primo che non divide l’altro, eπ;

  • ?x, per x irrazionale non quadratico (v. funzione ?);

  • Somma infinita con valore irrazionale e Somma infinita con valore irrazionale, se q è intero diverso da 0 e 1 e r è razionale diverso da zero (Peter B. Borwein, 1991); in particolare, per esempio, la costante di Erdös – Borwein è irrazionale;

  • la costante di Apéry ζ(3) (Apéry, 1979);

  • π + eπ (Nesterenko 1996);

  • Somma infinita con valore irrazionale e Somma infinita con valore irrazionale (Paul Erdös e M. Kac, 1954).

  • Somma infinita con valore irrazionale, se an è una sequenza di interi tale che a(n)^(1 / 2^n) tenda a infinito;

  • Somma infinita con valore irrazionale, se an è una sequenza crescente di interi maggiori di 1 (Paul Erdös e Ernst G. Straus, 1971);

  • Somma infinita con valore irrazionale, se an è una sequenza di interi tale che la differenza tra termini successivi tenda a infinito (Paul Erdös, 1981).

  • Somma infinita con valore irrazionale, se an è una sequenza crescente di interi, divisibili solo per un qualsiasi sottoinsieme infinito dei primi.

  • Somma infinita con valore irrazionale, se an è una sequenza crescente di interi, tali che il numero di elementi minori di n è maggiore di n(1 – log2 + ε), per n abbastanza grande e un qualche ε > 0 (Paul Erdös).

 

Nel 1975 Erdös definì “sequenza di irrazionalità” una sequenza di interi positivi an, tale che per qualsiasi sequenza di interi bn Somma infinita con valore irrazionale sia irrazionale e dimostrò che la sequenza 22n ha questa proprietà. Erdös e Graham dimostrarono che se an è una sequenza di irrazionalità, a(n)^(1 / n) tende a infinito e che se bn è una sequenza di interi, con valori assoluti limitati superiormente, Somma infinita con valore irrazionale è irrazionale.

 

Non sono però state neppure dimostrate irrazionali alcune semplici costanti, che si sospetta siano trascendenti, come: γ, nπ + me, con n e m interi, π / e, 2e, ee, πe, π^sqrt(2).

 

Yun Gao e Jining Gao dimostrarono nel 2008 che una serie definita come Somma di c(n) per n da 1 a infinito, con c(n) = a(n) / b(n) e an e bn interi converge a un numero irrazionale se valgono tre condizioni:

  • bn divide bn + 1;

  • Condizione che un limite deve soddisfare;

  • Somma di c(n) per n da k a infinito è diverso da 0 per qualsiasi valore di k.

La terza condizione è automaticamente soddisfatta se i vari cn sono maggiori di zero.

I due matematici dimostrarono inoltre che se Formula per la definizione di α e Formula per la definizione di β sono due numeri irrazionali in base al precedente teorema, tutti i cn e cn sono maggiori di zero, Condizione che un limite deve soddisfare e Condizione che un limite deve soddisfare, allora anche α + β è irrazionale.

 

Se c(n) =1 / a^P(n), dove P(n) è un polinomio a coefficienti interi positivi, Somma di c(n) per n da 1 a infinito converge a un numero irrazionale se e solo se Condizione che un limite deve soddisfare.

 

Dato un intero k, esistono infiniti numeri irrazionali r tali che Massimo intero non superiore a r^n più uno sia un multiplo di k per ogni valore intero di n maggiore di zero. In particolare la proprietà vale se Formula per r, per p > k. Per esempio, per k = 3, si può prendere p = 4, nel qual caso r = 6 + 3 * sqrt(3) e Massimo intero non superiore a r^n più uno è un multiplo di 3 per qualsiasi valore positivo di n.

Dimostrare l’esistenza di un valore di r per ogni intero k maggiore di zero era un problema proposto dalla Yugoslavia per le Olimpiadi Internazionali di matematica del 1987.

 

E’ noto che esistono numeri razionali x e y tali che xy sia irrazionale; un semplice esempio è dato da 2^(1 / 2) = sqrt(2); è possibile l’inverso, ossia esistono numeri irrazionali x e y tali che xy sia razionale?

La risposta è affermativa ed esiste una semplice dimostrazione di esistenza, non costruttiva. Consideriamo sqrt(2)^sqrt(2): se è irrazionale, allora x = y = sqrt(2) sono i numeri irrazionali cercati, altrimenti x = sqrt(2)^sqrt(2)y = sqrt(2) sono due numeri irrazionali e (sqrt(2)^sqrt(2))^sqrt(2) = 2 è razionale.

Si possono anche costruire esplicitamente infiniti casi del genere: per esempio, per x = 2^sqrt(2) e y = sqrt(2), entrambi irrazionali, abbiamo (2^sqrt(2))^sqrt(2) = 2.

Infiniti altri esempi si possono costruitre utilizzando i logaritmi, come elog2 = 2.

Bibliografia

  • Honsberger, Ross;  In Pólya’s Footsteps, The Mathematical Association of America, 1997 -

    Una magnifica raccolta di problemi a sfondo matematico e geometrico di vario tipo.

  • Livio, Mario;  Dio è un matematico, Milano, Rizzoli, 2009.
  • Niven, Ivan;  Irrational Numbers, Washington, Mathematical Association of America, 1956.
  • Pappas, Theoni;  Mathematical Scandals, San Carlos, Wide World Publishing/Tetra, 1997.
  • Stillwell, John;  Yearning for the Impossible, A.K. Peters, 2006.

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