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Fattoriali sinistri (II)

Teoria dei numeri 

La somma dei fattoriali da 0 a n – 1 è talvolta indicata con !n e pertanto chiamata “fattoriale sinistro”, anche se termine e notazione sono più comunemente usati per i subfattoriali.

Pertanto Formula per la definizione dei fattoriali sinistri; per convenzione, !0 = 0.

 

Alcune somme di fattoriali sinistri (J. Stanković e M. Žižović, 1974):

  • Somma che coinvolge fattoriali sinistri, per n > 0;

  • Somma che coinvolge fattoriali sinistri, per n > 0.

 

D. Kurepa suppose che MCD(!n, n!) = 2 per n > 1, che equivale ad affermare che !n non è multiplo di n, per n > 2; la congettura è stata verificata per tutti gli interi sino a 109.

 

Tranne !3 = 0! + 1! + 2! = 4, non si conoscono fattoriali sinistri che siano multipli di un quadrato; Kurepa suppose che non ne esistano. La verifica sinora è stata compiuta sino a !1223 (Ž. Mijalović, 1990).

 

Kurepa suppose anche che fattoriali sinistri diversi abbiano 2 come massimo comun divisore; oggi sappiamo che non è vero perché:

  • !7 = 874 = 2 • 19 • 23, !12 = 43954714 = 2 • 19 • 31 • 37313 e !16 = 1401602636314 = 2 • 19 • 41 • 491 • 1832213 condividono anche il fattore 19;

  • !16 = 1401602636314 = 2 • 19 • 41 • 491 • 1832213 e !25 = 647478071469567844940314 = 2 • 41 • 103 • 2875688099 • 26658285041 condividono anche il fattore 41.

 

!n ≡ (–1)n – 1d(n – 1) mod n, dove d(n) è il subfattoriale di n.

Se p è primo, !nbn – 1 mod p, dove bn è l’n-esimo numero di Bell.

Se p è primo, Identità soddisfatta dai fattoriali sinistri.

 

I fattoriali sinistri sono tutti pari, tranne !1 = 1, quindi nessuno è primo, tranne !2 = 2.

 

Metà del fattoriale sinistro di n è primo per n uguale a 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 30, 76, 163, 271, 273, 354, 721, 1796, 3733, 4769, 9316 (E. Weisstein, 2005), 12221 (E. Weisstein, 2006).

 

La tabella seguente mostra i primi valori.

n

!n

0

0

1

1

2

2

3

4

4

10

5

34

6

154

7

874

8

5914

9

46234

10

409114

11

4037914

12

43954714

13

522956314

14

6749977114

15

93928268314

16

1401602636314

17

22324392524314

18

378011820620314

19

6780385526348314

20

128425485935180314

 

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