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Brocard (congettura di) (II)

Congetture  Teoria dei numeri 

La meno famosa delle due congetture dovute al matematico francese Henry Brocard (Mosa, Francia, 12/5/1845 – Londra, 16/1/1922).

Afferma che n! + 1 è un quadrato solo se n = 4, n = 5 o n = 7.

 

Se esiste un altro valore di n, dev’essere superiore a un miliardo (Bruce C. Berndt e William F. Galway, 2000).

 

Nel 1993 Marius Overholt dimostrò che se la congettura “abc” è vera, esiste un numero finito di soluzioni dell’equazione n! + 1 = m2.

 

Nel 1996 Dabrowski dimostrò che per ogni valore di k esiste solo un numero finito di valori per i quali n! + k sia un quadrato. Se k è un quadrato, la dimostrazione suppone vera una forma debole della congettura “abc”.

 

Nel 2002 Florian Luca dimostrò che se la congettura “abc” è vera, esiste un numero finito di soluzioni dell’equazione n! = P(m), per qualsiasi polinomio P di grado almeno 2.

 

Nel 2019 Wataru Takeda dimostrò che esiste al massimo un numero finito di soluzioni dell’equazione n! = P(x, y), per qualsiasi polinomio P(x, y) omogeneo (ossia con tutti i termini dello stesso grado) e irriducibile di grado maggiore di 1. Sfortunatamente nel caso della congettura di Brocard il polinomio non è irriducibile: n! + 1 = m2 equivale a n! = (m + 1)(m – 1).

 

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