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Iperfattoriali

Teoria dei numeri 

L’n-esimo iperfattoriale H(n) è il prodotto dei primi n numeri naturali, ciascuno elevato a una potenza uguale al numero stesso: Formula per la definizione degli iperfattoriali. Per convenzione H(0) = 1.

 

Asintoticamente H(n) tende a Limite asintotico per H(n), dove A è la costante di Glaisher – Kinkelin, e logH(n) tende a Limite asintotico per log(H(n)).

 

Gli iperfattoriali sono legati ai determinanti di alcune matrici:

  • H(n) = [Q], dove Formula per la definizione degli elementi della matrice Q;

  • H(n) = [Q], dove Formula per la definizione degli elementi della matrice Q;

  • Formula che lega un iperfattoriale al determinante della matrice Q, dove Formula per la definizione degli elementi della matrice Q.

 

La somma dei reciproci degli iperfattoriali è circa 2.2592954398, che può essere approssimato con Approssimazione per la somma dei reciproci degli iperfattoriali.

 

Il teorema analogo al teorema di Wilson (v. fattoriali) per gli iperfattoriali afferma che se p è un primo dispari, Congruenza che coinvolge gli iperfattoriali, dove S(n) è il superfattoriale di n (Christian Aebi e Grant Cairns, 2015); per il calcolo dei valori v. fattoriali doppi.

 

La tabella seguente mostra gli iperfattoriali fino a H(20).

n

H(n)

0

1

1

1

2

4

3

108

4

27648

5

86400000

6

4031078400000

7

3319766398771200000

8

55696437941726556979200000

9

21577941222941856209168026828800000

10

215779412229418562091680268288000000000000000

11

61564384586635053951550731889313964883968000000000000000

12

548914237009501581804104224704637116078267727827959808000000000000000

13

166252458044258018207674078620690924617735088270974773221032328167424000000000000000

14

1847398448553592782012673311296877599223436283900539192451554723195762806303473270784000000000000000

15

808964493720696635283542546544828676197520735416089908518751853288169656424180656111616000000000000000000000000000000

16

14922760980383708438153873295130345243552690206970449281811392985992081714464816585406145840471905409171456000000000000000000000000000000

17

12344708701479826528466404811745271412321718748677732892822423713206262661824337942371424863698728859423123742232667489631731712000000000000000000000000000000

18

485719946139089280956902150810672544540754959013359147743230660048345032517869512906201805524316270927582946581871756692677952179133756780530932645888000000000000000000000000000000

19

960957888587843078189160232578068309375662778595573780624533767894100203924386798993235716933103769744074480434778011636173683310099132436167620166128263621457015870536548352000000000000000000000000000000

20

100763737898388614355527688003578055557189497372863237259215112020332401543021781214113113511884621846316264239637778832941245615057050789338689848331811015513291187346373172474675200000000000000000000000000000000000000000000000000

 

Come si possono generalizzare i fattoriali, estendendone il calcolo a valori reali dell’argomento tramite la funzione Γ, anche gli iperfattoriali possono essere estesi ad argomenti reali e addirittura complessi tramite le formule Formula per l'estensione degli iperfattoriali ad argomenti reali e Formula per l'estensione degli iperfattoriali ad argomenti complessi, dove S(z) è il superfattoriale di z.

 

Un valore particolare è Formula per H(–1 / 2), dove A è la costante di Glaisher – Kinkelin.

 

Per la derivata vale la formula Formula per la derivata di H(x).

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