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Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Occorrenze in teoria dei numeri
  3. 3. Occorrenze in matematica combinatoria
  4. 4. Occorrenze in algebra
  5. 5. Occorrenze in biologia
  6. 6. Altre occorrenze
  7. 7. Proprietà legate ai divisori
  8. 8. Altre proprietà
  9. 9. Formule per i numeri di Fibonacci
  10. 10. Formule per somme di numeri di Fibonacci
  11. 11. Formule per prodotti e potenze di numeri di Fibonacci
  12. 12. Serie finite con numeri di Fibonacci
  13. 13. Serie infinite con numeri di Fibonacci
  14. 14. Serie con reciproci dei numeri di Fibonacci
  15. 15. Altre formule
  16. 16. Valori

La formula più nota per il calcolo dei numeri di Fibonacci è Formula di Binet, che fu scoperta da de Moivre nel 1718 e dimostrata da N. Bernoulli dieci anni dopo, ma è comunemente chiamata “formula di Binet”, perché Binet nel 1843 dimostrò che date due successioni definite come segue:

  • U0 = 0, U1 = 1, Un = pUn – 1qUn – 2,

  • V0 = 2, V1 = p, Vn = pVn – 1qVn – 2,

allora Formula per il calcolo di U(n) e Vn = αn + βn, dove α e β sono le due radici dell’equazione x2px + q = 0 (v. numeri di Fibonacci generalizzati). Il caso p = 1, q = –1 corrisponde alle sequenze di Fibonacci e Lucas.

 

I numeri di Fibonacci possono essere ottenuti come somma di “diagonali” del triangolo di Tartaglia, detto anche di Pascal, ma in realtà noto già almeno cinque secoli prima in Cina e in Medio Oriente (v. coefficienti binomiali). La figura seguente mostra come tracciare le diagonali lungo le quali sommare.

 

Numeri di Fibonacci come somme lungo linee diagonali del triangolo di Tartaglia

 

Le somme si esprimono come somme di coefficienti binomiali tramite le formule Formule per il calcolo dei numeri di Fibonacci come somme di coefficienti binomiali (Lucas, 1876).

 

Alcune formule per il calcolo di Fn:

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci, per n > 0;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci, per n > 1;

Fn = 2Fn – 1Fn – 3;

Fn = 3Fn – 2Fn – 4;

Fn = FmFn + 1 – m + Fm – 1Fnm;

Fn = FnmLm – (–1)mFn – 2m, per n ≥ 2m;

Fn = FmFn + 1 – m + Fm – 1Fnm, per n ≥ 2m;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci per n pari e Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci per n dispari;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci, per n > 1;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci, per n > 2;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

Fn = Fn(1), dove Fn(x) è un polinomio di Fibonacci;

Fn = En– 1(1, –1), dove En(x, α) è un polinomio di Dickson di seconda specie;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci, dove Un(x) è un polinomio di Chebyshev di seconda specie;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci (W. Hope-Jones, 1921);

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci (F. Stern. 1979);

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci, dove Formula per il valore di z;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci ovvero Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci per n pari e Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci per n dispari;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci (Catalan, 1846);

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci, per n > 3 (F.T. Howard e Curtis Cooper);

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci (Lind, 1967).

 

Formule per numeri di Fibonacci con indici di varie forme:

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci, per n > 0;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci, per n > 0;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci, da cui si vede come φFn approssimi molto bene Fn + 1;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci, per n > 1, e in generale Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci, per nk ≥ 1;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci (Lucas, 1876);

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci, per n > 0;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

Fn + m = FmLn – (–1)nFmn = FnLm + (–1)nFmn, per mn e in particolare F2n = FnLn e F2n + 1 = FnLn + 1 + (–1)n = Fn + 1Ln – (–1)n;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci e in particolare F2n – 1 = Fn + 1FnFn – 1Fn – 2, Formula per il calcolo dei numeri di FibonacciFormula per il calcolo dei numeri di Fibonacci e Fn + m + 1 = Fm + 1Fn + 1 + FmFn;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci, per nm;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci (Hansen, 1972) e in particolare Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci e Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

Fn + m + k = Fn + 1Fm + 1Fk + 1 + FnFmFkFn – 1Fm – 1Fk – 1;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

Formula che coinvolge i numeri di Fibonacci;

F2n = Fn(Fn + 2Fn – 2);

F2n = Fn(Fn + 2Fn – 1);

F2n = Fn(2Fn + 1Fn);

F2n = FnkFn + k – 1 + Fn + kFnk + 1, per nk (Lucas 1876) e in particolare F2n = Fn(Fn – 1 + Fn + 1);

F2n = F2n – 2 + FnFn + 2Fn – 1FnFn – 2Fn + 1 (F.T. Howard e Curtis Cooper);

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci (Lucas 1876);

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci, dove Un(x) è un polinomio di Chebyshev di seconda specie (Basin, 1963);

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci, per n > 0;

F2n – 1 = Fn + 1Ln + 2LnLn + 1;

F2n + 1 = Fn + 1Fn – 1 + Fn + 2Fn;

F2n + 1 = Fn + 1Ln + 1FnLn (Carlitz, 1967);

F2n + 1 = Fn + 1Ln + 2Fn + 2Ln (Carlitz, 1967);

F2n + 1 = Fn + 1Ln – (–1)n = FnLn + 1 + (–1)n;

F2n + 1 = bn(1) e F2n + 2 = Bn(1), dove bn(x) e Bn(x) sono polinomi di Morgan-Voyce;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

Formula che coinvolge i numeri di Fibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

F2n + m = FnLn + m + (–1)nFm = Fn + mLn – (–1)nFm e in particolare F2n + 1 = FnLn + 1 + (–1)n = Fn + 1Ln – (–1)n;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci e in particolare Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci e Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

F3n = LnF2n – (–1)nFn (Cheves, 1970);

F3n = (L2n + (–1)n)Fn (Koshy, 1999);

F3n = 4F3n – 3 + F3n – 6;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci (J.H. Halton, 1965);

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci (Cesàro);

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

F4n = F2n – 1L2n + 1 – 1 = F2n + 1L2n – 1 + 1 (Dudley e Tucker, 1971);

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

F4n + 1 = F2nL2n + 1 + 1 (Hoggatt, 1967);

F4n + 1 = F2n + 1L2n – 1 (Dudley e Tucker, 1971);

F4n + 2 = F2nL2n + 2 + 1 (Dudley e Tucker, 1971);

F4n + 2 = F2n + 2L2n – 1 (Dudley e Tucker, 1971);

F4n + 3 = F2n + 1L2n + 2 – 1 (Dudley e Tucker, 1971);

F4n + 3 = F2n + 2L2n + 1 + 1 (Hoggatt, 1967);

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

Fmn = Fm(n – 1)Lm – (–1)mFm(n – 2), per n > 1;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci (Higgins, 1976);

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci, per m dispari e maggiore di 0;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci, per m pari e maggiore di 0;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci, per m pari e maggiore di 0;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci, per m > 0;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci, per m > 0 (Lucas, 1878);

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci, per m pari e maggiore di zero;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci, per m dispari;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci, per m > 0;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci, per m > 0;

F(k + 1)n = Fn – 1Fkn + FnFkn + 1;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci e in particolare Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci (Usiskin, 1974);

Formula per il calcolo dei numeri di Fibonacci, per n > 1.

 

Formule come quelle per F2n e F2n + 1 permettono di calcolare Fn senza dover calcolare tutti i termini precedenti della sequenza, in un numero di passi proporzionale a logn.

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    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

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