Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Occorrenze in teoria dei numeri
  3. 3. Occorrenze in matematica combinatoria
  4. 4. Occorrenze in algebra
  5. 5. Occorrenze in biologia
  6. 6. Altre occorrenze
  7. 7. Proprietà legate ai divisori
  8. 8. Altre proprietà
  9. 9. Formule per i numeri di Fibonacci
  10. 10. Formule per somme di numeri di Fibonacci
  11. 11. Formule per prodotti e potenze di numeri di Fibonacci
  12. 12. Serie finite con numeri di Fibonacci
  13. 13. Serie infinite con numeri di Fibonacci
  14. 14. Serie con reciproci dei numeri di Fibonacci
  15. 15. Altre formule
  16. 16. Valori

L’elenco delle proprietà note dei numeri di Fibonacci occuperebbe da solo parecchi volumi; posso solo elencarne alcune delle più semplici.

 

Il rapporto tra due numeri di Fibonacci consecutivi tende a φ, come dimostrò il matematico scozzese Robert Simson nel 1753, e i rapporti sono alternativamente maggiori e minori di φ. Inoltre Limite superiore per la differenza in valore assoluto tra φ e il rapporto di due numeri di Fibonacci consecutivi e tra due rapporti consecutivi almeno uno soddisfa la diseguaglianza Limite superiore per la differenza in valore assoluto tra φ e il rapporto di due numeri di Fibonacci consecutivi, mentre Disuguaglianza tra due rapporti di numeri di Fibonacci consecutivi per n pari e Disuguaglianza tra due rapporti di numeri di Fibonacci consecutivi per n dispari.

 

Solo 1, 2 e 3 sono sia numeri di Fibonacci che di Lucas.

 

Non esistono 4 numeri di Fibonacci in progressione aritmetica (Silverman 1964), mentre Fn – 2, Fn, e Fn + 1 costituiscono una progressione aritmetica di 3 termini.

 

Una delle proprietà note da molto tempo, alla base di alcuni problemi di matematica ricreativa, è Identità di Cassini, scoperta dall’astronomo J.D. Cassini (Histoire Academie Royal Paris, 1680) e detta “identità di Cassini”.

Nel 1879 fu generalizzata da Catalan: Fn + kFmkFnFm = (–1)nFmnkFk.

 

La determinazione dei numeri di Fibonacci con caratteristiche particolari è un problema vecchio di secoli, che solo recentemente ha avuto qualche soluzione. Il problema più antico è la ricerca di potenze tra i numeri di Fibonacci:

  • nel 1964 John H.E. Cohn e, indipendentemente, Wyler dimostrarono che gli unici quadrati sono 0, 1 e 144;

  • nel 1969 H. London e R.P. Finkelstein dimostrarono che 0, 1 e 8 sono gli unici cubi;

  • Robbins dimostrò che il minimo Fn > 1 che sia una potenza quinta o superiore, se esiste, ha indice n primo;

  • Attila Pethő dimostrò che le potenze tra i numeri di Fibonacci sono in numero finito;

  • finalmente nel 2006 Y. Bugeaud, M. Mignotte e S. Siksek dimostrarono che 1, 8 e 144 sono le uniche potenze tra i numeri di Fibonacci.

 

Le ricerche di numeri di Fibonacci con altre forme particolari hanno dato risultati interessanti:

  • gli unici della forma n2 + 1 sono 1, 2 e 5 (R.P. Finkelstein 1973);

  • gli unici della forma n2 – 1 sono 3 e 8 (N.R. Robins 1981);

  • gli unici della forma 2n2 sono 0, 2 e 8 (John H.E. Cohn 1964);

  • per ogni k non divisibile per un quadrato vi è al massimo un numero di Fibonacci della forma km2, con m > 1, tranne per k = 1 e 2; i numeri di Fibonacci multipli di un quadrato sono comunque rari;

  • gli unici della forma n3 + 1 sono 1 e 2 (N.R. Robins 1981);

  • non esiste alcun numero di Fibonacci della forma n3 – 1 (N.R. Robins 1981);

  • gli unici numeri triangolari sono: 0, 1, 3, 21 e 55; nel 1983 S.R. Wall estese le ricerche al primo miliardo di numeri di Fibonacci, senza trovarne altri; nel 1976 R.P. Finkelstein dimostrò che non ne esistono con indice pari e finalmente nel 1987 L. Ming dimostrò che non ne esistono altri;

  • W.L. McDaniel dimostrò nel 1998 che gli unici numeri di Fibonacci oblunghi sono F0 = 0 e F3 = 2, riscoprendo un risultato pubblicato per la prima volta da L. Ming (1995);

  • nessun numero di Fibonacci pari è perfetto;

  • l’unico noto della forma p# + 1 è 2# + 1 = 3 = F4;

  • gli unici appartenenti alla sequenza di Smarandache S(n), formata concatenando i numeri naturali in notazione decimale, sono F1 = F2 = 1;

  • l’unico noto appartenente alla sequenza di Smarandache Sp(n), formata concatenando i numeri pari in notazione decimale, è F3 = 2; Charles Asbacher avanzò nel 1998 la congettura che non ve ne siano altri;

  • gli unici noti appartenenti alla sequenza di Smarandache Sd(n), formata concatenando i numeri dispari in notazione decimale, sono F1 = F2 = 1 e F7 = 13; Charles Asbacher avanzò nel 1998 la congettura che non ve ne siano altri.

 

Florian Luca e V.J. Mejía Huguet dimostrarono nel 2008 che vi sono infiniti numeri di Riesel e di Sierpiński tra i numeri di Fibonacci e più precisamente Fk è un numero di Riesel se k diviso 3543120 dà resto 947887, 1735247, 1807873 o 2595233.

 

Ogni numero di Fibonacci di indice dispari non può essere rappresentato come somma di due quadrati di numeri di Fibonacci in più di un modo.

 

Ogni numero di Fibonacci maggiore di zero può essere rappresentato come somma o differenza di due quadrati di numeri di Fibonacci distinti.

 

Florian Luca e Pantelimon Stănică dimostrarono nel 2005 che tutti i numeri di Fibonacci Fn con n della forma 3543120k + 1807873 non possono essere espressi come somma di potenze di due primi, ossia, dato che sono dispari, che non sono somma di una potenza di 2 e di una potenza di un primo.

 

La massima radice reale dell’equazione xnFnxFn – 1 = 0 è φ (D.D. Wall, 1964).

 

L’equazione 5x2 + 4 = y2 ha per soluzione x = F2n e y = L2n (P. Schub, 1950).

L’equazione 5x2 – 4 = y2 ha per soluzione x = F2n – 1 e y = L2n – 1 (P. Schub, 1950).

Unendo le due ultime proprietà, otteniamo un curioso criterio: un intero x è un numero di Fibonacci se e solo se uno dei numeri 5x2 + 4 e 5x2 + 4 è un quadrato, nel qual caso la base del quadrato è il numero di Lucas con lo stesso indice.

 

Un altro criterio, curioso, ma di scarsa importanza pratica, è che un numero naturale n è un numero di Fibonacci se e solo se vi è un intero nell’intervallo Intervallo per la ricerca di numeri di Fibonacci.

 

Se Fn < x < Fn + 1 < y < Fn + 2, x + y non è un numero di Fibonacci (Hoggatt, 1982).

 

I valori di Valori che formano una sequenza crescente formano una sequenza crescente (Lind, 1967).

 

Nel 2012 Zhi-Wei Sun propose le congetture che per n > 1, Formula che coinvolge i numeri di Fibonacci sia strettamente crescente e che per n > 3, Formula che coinvolge i numeri di Fibonacci sia strettamente decrescente; l’anno seguente lo stesso Sun, Qing-Hu Hou e Haomin Wen dimostrarono che le congetture sono vere e che più in generale per qualsiasi coppia di interi p e q, con p > 0, q ≠ 0 e p2 > 4q, una successione definita tramite la ricorrenza U0 = 0, U1 = 1, Un + 1 = pUnqUn – 1Formula che coinvolge la sequenza x(n) è strettamente decrescente per n abbastanza grande.

 

Se n è un intero positivo, tra due sue potenze consecutive vi sono al massimo n numeri di Fibonacci.

 

Se Rapporto tra numeri di Fibonacci consecutivi, con a e b interi, ma non necessariamente primi tra loro, (a + b)Fn – 1 = mcm(a, b) + (–1)nMCD(a, b), per n > 1.

Se Rapporto tra numeri di Lucas consecutivi, con a e b interi, ma non necessariamente primi tra loro, (a + b)Fn + 1 = mcm(a, b) + MCD(a, b)F2n – 1, per n > 1.

Se Rapporto tra numeri di Fibonacci consecutivi, con a e b interi, ma non necessariamente primi tra loro, (a + b)Fn + 1 = mcm(a, b) + MCD(a, b)F2n – 1, per n > 1.

 

Per qualsiasi valore positivo di x0, e qualsiasi valore di n > 1, la successione Formula per la definizione dei termini della sequenza tende a φ (D.D. Wall, 1964).

 

Uno straordinario legame con π è dato da Formula per il calcolo di π che coinvolge i numeri di Fibonacci, dove il logaritmo al denominatore va calcolato sul minimo comune multiplo dei primi n numeri di Fibonacci. (Yuri V. Matiyasievic e Richard K. Guy, 1985). Alla voce π si trova una generalizzazione della formula al caso di altre ricorrenze.

 

FnFn + 3, 2Fn + 1Fn + 2 e F2n + 3 formano una terna pitagorica (Raine); l’area del triangolo rettangolo risultante è FnFn + 1Fn + 2Fn + 3, quindi il prodotto di 4 numeri di Fibonacci consecutivi è l’area di un triangolo rettangolo con lati interi.

 

Le seguenti serie coinvolgenti reciproci di numeri di Fibonacci hanno un valore irrazionale:

  • Serie che coinvolge i numeri di Fibonacci e ha valore irrazionale, per x intero non nullo, a e b interi non nulli e primi tra loro e ab (Tapani Matala-Aho e Marc Prévost, 2003; v. costante del reciproco di Fibonacci);

  • Serie che coinvolge i numeri di Fibonacci e ha valore irrazionale;

  • Serie che coinvolge i numeri di Fibonacci e ha valore irrazionale (conseguenza di un teorema dimostrato da Cantor nel 1869).

 

Le seguenti serie coinvolgenti reciproci di numeri di Fibonacci hanno un valore trascendente:

  • Serie che coinvolge i numeri di Fibonacci e ha valore trascendente (Y. Nesterenko, 1996);

  • Serie che coinvolge i numeri di Fibonacci e ha valore trascendente;

  • Serie che coinvolge i numeri di Fibonacci e ha valore trascendente per k intero maggiore di zero (Daniel Duverney, Keiji Nishioka, Kumiko Nishioka, e Iekata Shiokawae, 1997) e in particolare Serie che coinvolge i numeri di Fibonacci e ha valore trascendente;

  • Serie che coinvolge i numeri di Fibonacci e ha valore trascendente;

  • Serie che coinvolge i numeri di Fibonacci e ha valore trascendente;

  • Serie che coinvolge i numeri di Fibonacci e ha valore trascendente;

  • Serie che coinvolge i numeri di Fibonacci e ha valore trascendente.

 

Non esistono quadrati magici di qualsiasi ordine formati da numeri di Fibonacci differenti (J. L. Brown, 1965).

 

Dato il quadrato magico 3 × 3:

6

7

2

1

5

9

8

3

4

se sostituiamo gli interi con numeri di Fibonacci consecutivi, otteniamo un quadrato con la curiosa proprietà che la somma dei prodotti lungo le colonne è uguale alla somma dei prodotti lungo le righe. Per esempio, iniziando con 8, otteniamo:

89

144

13

8

55

377

233

21

34

e 89 • 8 • 233 + 144 • 55 • 21 + 13 • 377 • 34 = 498850 = 89 • 144 • 13 + 8 • 55 • 377 + 233 • 21 • 34.

Questa non è una proprietà esclusiva dei numeri di Fibonacci, ma vale per ogni quadrato 3 × 3 costruito in questo modo partendo da sequenze di numeri, non necessariamente interi, ottenibili come xn ± yn e quindi anche per le sequenze nelle quali ogni numero è la somma dei due precedenti, indipendentemente dai valori di partenza.

 

L’unico numero di Fibonacci formato da una cifra ripetuta è 55 (F. Luca, 2000).

 

Il numero di cifre di Fn in base b è Formula per il numero di cifre di F(n) in base b.

 

I numeri di Fibonacci noti la cui somma delle cifre sia un numero di Fibonacci sono:

F0 = 0, somma delle cifre 0 = F0;

F1 = F2 = 1, somma delle cifre 1 = F1;

F3 = 2, somma delle cifre 2 = F3;

F4 = 3, somma delle cifre 3 = F4;

F5 = 5, somma delle cifre 5 = F5;

F6 = 8, somma delle cifre 8 = F6;

F8 = 21, somma delle cifre 3 = F4;

F13 = 233, somma delle cifre 8 = F6;

F28 = 317811, somma delle cifre 21 = F8;

F33 = 3524578, somma delle cifre 34 = F9;

F49 = 7778742049, somma delle cifre 55 = F10;

F85 = 259695496911122585, somma delle cifre 89 = F11;

F94 = 19740274219868223167, somma delle cifre 89 = F11;

F107 = 10284720757613717413913, somma delle cifre 89 = F11;

F286 = 263621064469290555679241849789653324393054271110084140201023, somma delle cifre 233 = F13;

F299 = 137347080577163115432025771710279131845700275212767467264610201, somma delle cifre 233 = F13;

F366 = 13803567055491817972029187936825113333650564850089197542855968899086435571688, somma delle cifre 377 = F14;

F421 = 4308355614659046773460502197440934169467600804865999014851680725486111854012659190521721, somma delle cifre 377 = F14;

F422 = 6971065820139782390806954219541689244276624212074373456653600330331675492690805039973161, somma delle cifre 377 = F14;

F443 = 170623807298553611905880623235491323624375649830112453507358412671675285005069415562415412537, somma delle cifre 377 = F14;

F657 = 90239076488249662859174127312351972042383712190119924607198962997404679190315613511621050073539766940753763145551995354034341937638737762, somma delle cifre 610 = F15;

F2807 = 19002956732762401222258922356040891988172767818797677223553098131495598353006862509502109733518356248500496638997348611529274552452600922024106725761999522902787195563606812645220633144682459908315024259578417669733998020638461453302638361815881460118718830154783011252832927793505459230479750926331798974099873133976128759335941499120133124560796719740618416662921281181031304430023462439394161386419090128693568811094506570831122870080240829246826046610785007987602981752652252976176285549049830537986435610117250572511348876236437128701454938997466728285010622479270667215289929601713, somma delle cifre 2584 = F18;

F4483 = 3484225368324415976774738949252620200921201306776758547573620403813535699356537667888185802516937913349014318070144285330472558935872173926381699474147594413837013615297540572593451485465530605718104727764972703371516934057647635515649300997017288016783176616100350357874916237191231375094622487992938737380600370235832829576077717188839200060736033625911478170538285220299989626889174272155472180426519126658011954814924378939764336871416641582275617313617647106110595652616160672381440521078754820306011027423416404803951050485405865573386471326333579004828035628849898841290355945518157155828478149721388036646022583196096292047595001670214571793911850495706732515841982036369398591279886545104181186710613248384523563876777932214087060077311813000721921858684751357303409819057126947494005563384694479912091373850679582569715776775080318625523606051174739806895364419836000759337933993529830458457281356760874501934198617227421364597, somma delle cifre 4181 = F19;

F4531 = 37455273312872128735696076276675102063325748862301378246922791007759501757673597412119222924328152303836590155023496421640854736847568149978019767516450682890357848964406223169423297785723384274700370477861789340340540075895930602576321426855047553782414142331715338350569613483962230058404334731370558231354740772116506959259724632457282673441924564076258332716143503138691745185723362930625652144420842342753712816842077338183533425022869292264210688297143595592590440593810030141638363894432891354881003322147517849755450430591405425386996062377788324003697632533516267633269770378102499943359035925738647333558774118377779725503533600493338586272233516453114521308716950387561665102048860770267761093929994297534762542422279471476459302561250403507308070105975379858677857410001560555358931937254950999311881747466399355656778342278296160572313174519250794355208864890423939540034852734719393963893923422380873280487219381073594002285812949269, somma delle cifre 4181 = F19;

F49140, somma delle cifre 46368 = F24;

F79033, somma delle cifre 75025 = F25;

F79850, somma delle cifre 75025 = F25;

F80290, somma delle cifre 75025 = F25;

Se ne esistono altri, il loro indice è maggiore di 100000 (M. Fiorentini, 2018).

 

Un’ultima curiosità, che si trova su molti testi: Valore di 1 / 998999; se prendete le cifre dopo la virgola a gruppi di 3, ottenete i primi 16 numeri di Fibonacci.

In realtà questo non è che un caso particolare di una formula generale: Serie che coinvolge i numeri di Fibonacci (Hudson and Winans, 1981). In pratica la formula significa che calcolando lo sviluppo della frazione in base b e suddividendolo a gruppi di n cifre, troviamo all’inizio tutti i numeri di Fibonacci Fmk rappresentabili con non più di n cifre in base b. L’esempio corrisponde al caso b = 10, m = 1, n = 3.

 

Altre proprietà, comuni ai numeri di Lucas, si trovano alla voce numeri di Fibonacci generalizzati.

Bibliografia

  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosità matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • Bellos, Axel;  Il meraviglioso mondo dei numeri, Torino, Einaudi, 2011 -

    Trad. di Alex’s Adventures in Numberland. Dispatches from the Wonderful World of Mathematics, 2010.

  • Bicknell, Majorie;  Hoggatt, Verner E. Jr.;  Fibonacci’s Problem Book, The Fibonacci Association, 1974 -

    Una miniera di problemi e relazioni interessanti, che coinvolgono i numeri di Fibonacci e di Lucas.

  • Catanzaro, Michele;  "Le ambigue forme delle piante" in Le Scienze, n. 452, Aprile 2006, pag. 42 – 43.
  • Cook, Theodore Andrea;  The Curves of Life, New York, Dover, ristampa dell’originale pubblicato da Constable and Co. Londra, 1914, 1979 -

    Un curioso trattato su spirali ed eliche, in natura e nelle opere umane. Leggendolo viene da chiedersi cosa avrebbe detto (e scritto) l’Autore se avesse saputo che la curva descritta dal DNA, la vera “curva della vita” è un’elica.

  • Cooper, C.;  Kennedy, R.E.;  "Variations on a 5 × 5 Seating Rearrangement Problem" in Mathematics in College, Fall-Winter, City University of New York, 1993.
  • Davis, Martin;  Hersh, Reuben;  "Il decimo problema di Hilbert" in Le Scienze, Milano, n. 66, Febbraio 1974, pag. 84 - 92.
  • Daykin, D.E.;  "Representation of Natural Numbers As Sums of Generalized Fibonacci Numbers" in Journal of London Mathematical Society, n. 35, 1960, pag. 143 – 160.
  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Dudeney, Henry Ernest;  536 Puzzles and Curious Problems, Souvenir press, 1967.
  • Dunlap, Richard A.;  The Golden ratio and Fibonacci Numbers, Singapore, World Scientific Publishing Co., 1997.
  • Finkelstein, R.;  London, H.;  "On Fibonacci and Lucas numbers that are perfect powers" in Fibonacci Quarterly, n. 7, 1969.
  • Gardner, Martin;  "Giochi matematici" in Le Scienze, Milano, n. 12, agosto 1969, pag. 99 – 103.
  • Gardner, Martin;  Mathematical Circus, New York, Alfred A. Knopf, ristampato New York, Vintage Books, 1981, 1979.
  • Garlad, Trudi Hammel;  Fascinating Fibonaccis: Mystery and Magic in Numbers, Palo Alto, Seymour, 1987.
  • Guy, Richard K.;  Nowalkowski, Richard;  "A Recurrence of Fibonacci" in The American Mathematical Monthly, n. 103, dicembre 1996, pag. 854 – 869.
  • Honsberger, Ross;  In Pólya’s Footsteps, The Mathematical Association of America, 1997 -

    Una magnifica raccolta di problemi a sfondo matematico e geometrico di vario tipo.

  • Honsberger, Ross;  Mathematical Gems III, The Mathematical Association of America,, 1985.
  • Horadam, A.F.;  "Eight hundred years young" in The Australian Mathematics Teacher, n. 31, 1975, pag. 123 – 134.
  • Huntley, H.E.;  The Divine Proportion, a Study in Mathematical Beauty, Dover, 1970.
  • Klamkin, Murray S.;  International Mathematical Olympiads 1978 – 1985, Washington, The Mathematical Association of America, 1986 -

    Raccolta di problemi stimolanti, alla portata di studenti delle medie superiori.

  • Koshy, Thomas;  Fibonacci and Lucas Numbers with Applications, New York, John Wiley & Sons, 2001.
  • Luca, Florian;  Stănică, Pantelimon;  "Fibonacci Numbers that Are not Sums of Two Prime Powers" in Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 133, n. 7, pagg. 1887 – 1990, febbraio 2005.
  • Pickover, Clifford A.;  A Passion for Mathematics, Hoboken, John Wiley & Sons, 2005.
  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

  • Stanley, Richard P.;  Enumerative Combinatorics, Cambridge University Press, vol. I, 1997.
  • Vajda, Steven;  Fibonacci and Lucas Numbers, and the Golden Section, Mineola, New York, Dover, 2008.
  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.