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Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Occorrenze in teoria dei numeri
  3. 3. Occorrenze in matematica combinatoria
  4. 4. Occorrenze in algebra
  5. 5. Occorrenze in biologia
  6. 6. Altre occorrenze
  7. 7. Proprietà legate ai divisori
  8. 8. Altre proprietà
  9. 9. Formule per i numeri di Fibonacci
  10. 10. Formule per somme di numeri di Fibonacci
  11. 11. Formule per prodotti e potenze di numeri di Fibonacci
  12. 12. Serie finite con numeri di Fibonacci
  13. 13. Serie infinite con numeri di Fibonacci
  14. 14. Serie con reciproci dei numeri di Fibonacci
  15. 15. Altre formule
  16. 16. Valori

Notevoli sono i legami dei numeri di Fibonacci con i primi.

 

Un numero di Fibonacci primo ha come indice un numero primo, tranne F4 = 3, ma non tutti i numeri di Fibonacci con indice primo sono primi; il primo controesempio è F19 = 4181 = 37 • 113.

 

Vi sono probabilmente infiniti numeri di Fibonacci primi, ma non è stato dimostrato; Fn è primo per n uguale a 3, 4, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 43, 47, 83, 131, 137, 359, 431, 433, 449, 509, 569, 571, 2971, 4723, 5387 (Morain e Williams, 1990), 9311 (Dubner e Keller, 1995), 9677 (de Water, 2000), 14431 (de Water e Broadhurst, 2001), 25561 (de Water e Broadhurst, 2001), 30757 (de Water e Broadhurst, 2001), 35999 (de Water e Broadhurst, 2001), 37511 (Renze, 2005), 50833 (Irwin, de Water e Broadhurst, 2005), 81839 (de Water e Broadhurst, 2001), 104911, 130021, 148091 (T.D. Noe, 2003), 201107, 397379 (Dubner e Keller, 1999), 433781, 590041 (R. Lifchitz. 2005) e nessun altro indice minore di 434000; per gli ultimi sette valori Fn è molto probabilmente primo, ma non è ancora stato dimostrato tale con certezza.

 

Gli unici numeri di Fibonacci noti che siano primi di Sophie Germain sono: F3 = 2, F4 = 3, F5 = 5, F11 = 89, F13 = 233, F509 = 10597999265301490732599643671505003412515860435409421932560009680142974347195483140293254396195769876129909; se ve ne sono altri, il loro indice è maggiore di 2904353 (Jonathan Sondow, 2015).

 

Il minimo numero di Fibonacci composto che non sia multiplo di un primo di Fibonacci è F19 = 4181.

 

Non è difficile dimostrare che Fn + 1 non è un primo, tranne nei casi F1 + 1 = F2 + 1 = 2 e F3 + 1 = 3 e che Fn – 1 non è un primo, tranne nei casi F4 – 1 = 2 e F6 – 1 = 7.

 

Una potenza di un numero di Fibonacci meno uno non è un primo, tranne nel caso F(3) al quadrato meno uno (V. Hoggatt Jr. e M. Bicknell-Johnson).

 

Una potenza di un numero di Fibonacci più uno non può essere un primo, a meno che l’indice sia multiplo di 3 e l’esponente una potenza di 2; sono infatti note le eccezioni F(9) alla quarta meno 1F(15) alla ottava meno 1 (V. Hoggatt Jr. e M. Bicknell-Johnson, 1977) e potrebbero esservene altre.

 

Tra le altre relazioni con i primi val la pena di ricordare le seguenti:

  • ogni numero di Fibonacci Fn tranne F1 = F2 = 1, F6 = 8 e = F12 = 144, è divisibile per un fattore primo primitivo, ossia un primo p che non divide alcun numero di Fibonacci inferiore e p ≡ ±1 mod Fn, tranne nel caso n = 5 (teorema di Carmichael, 1913);

  • l’unico primo che sia la media di numeri di Fibonacci consecutivi è 17, media tra 13 e 21;

  • se n ≡ ±1 mod 10 e n è un fattore primitivo di Fn – 1, n è primo (Lucas);

  • se n ≡ ±3 mod 10 e n è un fattore primitivo di Fn + 1, n è primo (Lucas); i risultati di Lucas sui fattori primitivi gli permisero di dimostrare che M127 = 2127 – 1 è primo;

  • F6F7F8F9 = 510 = 17# è il prodotto dei primi sino a 17;

  • F1053630 è il primo termine della sequenza che sia multiplo di tutti i primi inferiori a 50.

 

Daniel Schleper dimostrò nel 1966 che a2 + b2 + 1 è divisibile per ab se e solo se a e b sono numeri di Fibonacci con indici dispari consecutivi a = F2n – 1 e b = F2n + 1; in tal caso Formula dimostrata da Daniel Schleper.

 

Nel 2011 Florian Luca dimostrò che nessun numero di Fibonacci è un numero di Lehmer, ovvero che φ(Fn) non divide Fn – 1.

 

Ribenboim dimostrò nel 1999 che, supponendo vera la cosiddetta “congettura abc” (che tutti ritengono vera, ma sembra più difficile da dimostrare dell’ultimo teorema di Fermat), i numeri di Fibonacci e di Lucas potenti o multipli di numeri potenti sono in numero finito.

 

Per quanto riguarda i divisori dei numeri di Fibonacci, si può dimostrare che:

  • due numeri di Fibonacci consecutivi sono primi tra loro;

  • i primi che dividono Fn per n dispari sono della forma 4k + 1;

  • se un intero k divide Fm e Fn, divide anche Fm + n e viceversa se divide Fm + n e Fn, divide anche Fm;

  • F3n + 1 + Fn + 3 è un multiplo di 3 (Bersenyi, 1979);

  • F25n è un multiplo di 25;

  • Fn è divisibile per Fm se e solo se n è divisibile per m; quindi in particolare Fn è divisibile per 2 se solo se n è multiplo di 3, è divisibile per 3 se solo se n è multiplo di 4 ed è divisibile per 5 se solo se n è multiplo di 5, quindi è divisibile per 10 se solo se n è multiplo di 15; inoltre se p è primo, Fp non è divisibile per alcun numero di Fibonacci;

  • il minimo numero di Fibonacci divisibile per n è Fn se e solo se n è una potenza di 5 o della forma 12 • 5k (Paul S. Bruckman);

  • Fn è divisibile per Lm se e solo se n è divisibile per 2m, con m > 1 e in particolare Fn è divisibile per 4 se e solo se n è divisibile per 6;

  • nessun numero di Fibonacci dispari è divisibile per 17;

  • se n è dispari, tutti i fattori primi di Fn sono della forma 4k + 1;

  • MCD(Fn, Fm) = FMCD(n, m) (Lucas, 1876);

  • MCD(Fn, Ln) = 2 se e solo se n è multiplo di 3;

  • MCD(Fn, Fm) = MCD(Fn, Fm + n) = MCD(Fm, Fm + n) (Brown, 1967);

  • MCD(F4n + 1, F4n + 1 – 1) = MCD(F4n + 1 – 1, F4n + 3 – 1) = L2n + 1;

  • MCD(F4n – 1, F4n + 1 + 1) = MCD(F4n + 1 + 1, F4n + 3 + 1) = F2n + 1;

  • MCD(F4n + 2 + 1, F4n + 3 – 1) = F2n + 2;

  • MCD(F4n + 2 – 1, F4n + 3 + 1) = L2n + 2;

  • se MCD(m, n) = 1 o MCD(m, n) = 2, MCD(Fm, Fn) = 1;

  • Fmn è divisibile per FmFn se e solo se MCD(m, n) è 1, 2 o 5;

  • F2m – 1 divide (Fm – 1FnFmFn – 1) se e solo se 2m – 1 divide 2n – 1 (Jordan, 1965);

  • se p è primo, F(p^n) non è un multiplo di un quadrato, tranne nel caso di F(5^n), che è multiplo di 5nm, dove m non è multiplo di un quadrato;

  • se pk è la massima potenza di un primo dispari p che divide Fn, la massima potenza di p che divide F(n * p^m) è pk + m;

  • se p è un primo dispari che divide Fn, pk divide F(2np^(k – 1)) (Carlitz e, indipendentemente, Bergum);

  • se p è un primo dispari che divide Ln, pk divide F(2np^(k – 1)) (Carlitz e, indipendentemente, Bergum);

  • se p è un primo diverso da 5, p divide F(p^2 – 1);

  • se p è un primo maggiore di 3 che divide F(2^r3^k) con r > 1 e n = 2r3kpm, n divide Fn; e in particolare se n = 2m3k con m > 1, n divide Fn;

  • se p e q sono primi dispari differenti che dividono F(2^r3^k) con r > 1 e n = 2r3kpmql, n divide Fn;

  • se p e q sono primi dispari differenti, p divide Fn e q divide Fm, (pq)k divide F(mn(pq)^(k - 1)) (Carlitz e, indipendentemente, Bergum);

  • se p è primo maggiore di 7 e della forma 5k + 2 o 5k + 4 e 2p – 1 è primo, 2p – 1 divide Fp;

  • se n = 2m3k5l con m > 1, n divide Fn.

 

Se p è un primo dispari diverso da 5, Fp – 1 ≡ 0 mod p, se p ≡ ±1 mod 5, Fp + 1, ≡ 0 mod p, se p ≡ ±2 mod 5; in altri termini p divide F(p - (p | 5)) dove Simbolo di Legendre (p | 5) indica il simbolo di Legendre (v. anche pseudoprimi di Fibonacci). Non si conoscono primi p tali che p2 divida F(p - (p | 5)), detti “primi di Wall – Sun – Sun”, nonostante siano stati esaminati tutti quelli inferiori a 1.7 • 1017 (primeGrid, 2016).

Se f(p) è il minimo indice per il quale Ff(p) è divisibile per p, f(p) divide p - (p | 5), quindi f(p) ≤ p + 1.

Se p è un primo dispari diverso da 5, Congruenza soddisfatta da F((p ± 1) / 2) al quadrato, se p ≡ 1 mod 4, Congruenza soddisfatta da F((p ± 1) / 2) al quadrato, se p ≡ 3 mod 4.

 

Zhi-Hong Sun dimostrò nel 1998 che se p è un primo maggiore di 5, tale che Simbolo di Legendre (–15 | p) uguale a 1 e quindi rappresentabile (in un unico modo) come a2 + 15b2, se p ≡ 1 mod 3, o come 5a2 + 3b2, se p ≡ 2 mod 3, con a e b non negativi, allora:

  • Congruenza soddisfatta da alcuni numeri di Fibonacci, se e solo se b ≡ 0 mod 3;

  • Congruenza soddisfatta da alcuni numeri di Fibonacci, se ab mod 3;

  • Congruenza soddisfatta da alcuni numeri di Fibonacci, se e solo se p è rappresentabile (in un unico modo) come a2 + 540b2, se p ≡ 1 mod 3, o come 5a2 + 108b2, se p ≡ 2 mod 3, con a e b non negativi.

 

φ(Fn) è un multiplo di 4 per n > 4.

 

Il teorema di Vorobiev, da questi dimostrato nel 1942, ma pubblicato solo nel 1967, afferma che se F(n) al quadrato divide Fk, allora Fn divide k. Per esempio, F(6) al quadrato divide F48 = 4807526976 e F6= 8 divide 48. L’inverso non è vero: F3 = 2 divide 8, ma F(3) al quadrato non divide F8 = 21.

 

Nel 1980 M. Cavachi dimostrò che Congruenza che coinvolge numeri di Fibonacci, Congruenza che coinvolge numeri di Fibonacci e Congruenza che coinvolge numeri di Fibonacci.

 

Il prodotto di n numeri di Fibonacci consecutivi è divisibile per il prodotto dei primi n, ossia dei numeri da F1 a Fn (Lucas, 1878).

 

Per quanto riguarda i resti ottenuti dividendo i numeri di Fibonacci per alcuni interi, sappiamo che:

  • Fnn mod 100 se e solo se n è multiplo di 300 o diviso per 60 dà resto 1, 5, 25, 29, 41 o 49 (M.R. Turner, 1974); come conseguenza se p è un primo > 3, Congruenza soddisfatta da F(p^2);

  • FnLn mod 2;

  • F6n ± 1 ≡ 1 mod 4;

  • F6n – 2 ≡ 3 mod 4;

  • F3n ≡ (–1)n – 12n2 mod 24 (F.T. Howard e Curtis Cooper);

  • F3n + 1 ≡ (–1)n mod 22 (F.T. Howard e Curtis Cooper);

  • F3n + 1 ≡ (–1)n(10n(n + 1)(2n + 1) + 1) mod 25 e quindi F3n + 1 ≡ (–1)n mod 23, se n ≡ 0 o 3 mod 4, e F3n + 1 ≡ (–1)n5 mod 23, se n ≡ 1 o 2 mod 4 (F.T. Howard e Curtis Cooper);

  • F3n + 2 ≡ (–1)n(2n + 1) mod 23 (F.T. Howard e Curtis Cooper);

  • FnnLn mod 5 (D.D. Wall, 1964);

  • Fn + 5 ≡ 3Fn mod 5;

  • F2nn(–1)n + 1 mod 5 (Freitag, 1979);

  • 2nFn ≡ 2n mod 5 (D.D. Wall, 1968);

  • Fn + 24Fn mod 9 (Householder, 1963);

  • Fn ≡ 22n + 3 – 23n + 3 mod 11;

  • per k dispari, Fk(n + 2)Fkn mod Lk (Freitag, 1974);

  • per k pari, Fk(n + 2) + Fkn ≡ 2Fk(n + 1) mod Lk – 2 (Freitag, 1974);

  • Congruenza soddisfatta da F(3 * 2^n) (Bruckman, 1979);

  • Congruenza soddisfatta da F(4 * 3^n) (Kramer e Hoggatt, 1972);

  • Congruenza soddisfatta da F(5^n) (Bruckman, 1980);

  • se p è primo, Fn – 1pn + Fnpn – 1 ≡ 1 mod (p2 + p – 1);

  • se p è primo, FnpFnFp mod p (J.E. Desmond, 1970);

  • F2mn + kFk mod Fn, per n pari;

  • F2mn + k ≡ (–1)mFk mod Fn, per n dispari;

  • F2mn + k ≡ (–1)mFk mod Ln, per n pari;

  • F2mn + kFk mod Ln, per n dispari;

  • se p è un primo dispari, Congruenza soddisfatta da F(p);

  • se p è un primo della forma 5k ± 1, Fp ≡ 1 mod p;

  • se p è un primo della forma 5k ± 2, Fp ≡ –1 mod p;

  • Congruenza che coinvolge i numeri di Fibonacci (Freitag, 1982);

  • Fn – 1mFn ≡ (–m)n mod (m2 + m – 1), per m > 1;

  • il minimo numero composto n per il quale Congruenza che coinvolge i numeri di Fibonacci, dove Simbolo di Legendre (n | 5) è il simbolo di Legendre è 4181.

 

Il resto della divisione tra due numeri di Fibonacci è un numero di Fibonacci o la differenza tra due numeri di Fibonacci. 

 

I resti ottenuti dividendo i numeri di Fibonacci per un qualsiasi intero n si ripetono ciclicamente (v. numeri di Pisano).

 

Tra n2 numeri di Fibonacci consecutivi ve n’è almeno uno multiplo di n.

La dimostrazione è semplice, ma elegante: i primi due numeri di Fibonacci danno resto 0 e 1 se divisi per qualsiasi intero maggiore di 1; se consideriamo i resti modulo n, abbiamo n2 possibilità per ogni coppia di numeri consecutivi e quindi dopo al massimo n2 + 1 coppie almeno una coppia di resti si deve ripetere, costituendo un ciclo. Ogni coppia di resti, però determina anche il resto dei numeri immediatamente precedenti e seguenti, quindi il ciclo include anche la prima coppia, e il ciclo di n2 coppie, contenente n2 + 1 numeri consecutivi, ne contiene almeno uno, oltre al primo, che dà resto zero se diviso per n.

In realtà si può dimostrare un risultato migliore: il primo multiplo ha indice non superiore a 2n.

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