Fibonacci (numeri di)

Lanciando una moneta:

• la probabilità di non ottenere due teste di seguito su n lanci è ;

• la probabilità di ottenere la prima sequenza di due teste di seguito dopo esattamente n lanci è e il numero medio di lanci prima di ottenere tale risultato è 6;

• la probabilità di ottenere la prima sequenza di tre risultati uguali dopo esattamente n lanci è e il numero medio di lanci prima di ottenere tale risultato è 7.

 

Supponiamo di dover diffondere una notizia a un certo numero di persone, usando telefoni; tutte le telefonate durano lo stesso tempo, che prenderemo come unità, tutti coloro che ricevono la notizia iniziano immediatamente a diffonderla, ma ciascuno, per non spendere troppo, fa solo due telefonate.

All’inizio solo una persona, che chiameremo A, conosce la notizia; dopo una telefonata (e qundi dopo una unità di tempo, saranno in due, A e B. Durante la seconda unità A e B telefonano a C e D, quindi A smette di telefonare. Durante la successiva unità B, C e D telefonano a E, F e G, quindi B smette. Poi saranno C, D, E, F e G a telefonare e poi C e D smetteranno.

Dopo n unità di tempo le persone a conoscenza della notizia sono F_{n + 3} – 1.

 

Supponiamo di avere una funzione convessa f in un intervallo [A .. B] e di voler approssimare il più possibile il valore per il quale si ha il minimo, calcolando n valori; la procedura consiste quindi nel dividere l’intervallo iniziale in intervalli sempre più piccoli. Chiamiamo G_{n + 1} la lunghezza dell’intervallo iniziale; per prima cosa fissiamo due punti C e D, tali che , e G_{n – 1} = CD, come mostra la figura seguente.

 

 

Calcoliamo quindi il valore della funzione in C e D; se f(C) < se f(D), il minimo andrà cercato nell’intervallo [A .. D], mentre in caso contrario andrà cercato nell’intervallo [C .. B]. Ripartiamo quindi con il nuovo intervallo e continuiamo la suddivisione; alla fine arriveremo a un intervallo G₃, diviso in due intervalli G₁ e G₂, uno dei quali conterrà il valore per il quale la funzione è minima; in tutto avremo calcolato n volte la funzione, incluso un calcolo finale per un punto in G₂.

Quale scelta delle lunghezze degli intervalli rende minima l’ampiezza dell’intervallo che contiene il minimo?

Una buona scelta è scegliere le lunghezze in modo tale che  (detta “ricerca della sezione aurea”), che porta a una lunghezza dell’intervallo finale pari a  volte la lunghezza dell’intervallo iniziale. Una scelta leggermente preferibile però è  (detta “ricerca di Fibonacci”) che porta a una lunghezza dell’intervallo finale pari a  volte la lunghezza dell’intervallo iniziale; asintoticamente il rapporto tende a  e il rapporto tra la lunghezza finale con le due strategie è , a favore della ricerca di Fibonacci. J. Kiefer dimostrò nel 1953 che la ricerca di Fibonacci è la migliore tra una vasta gamma di strategie.

 

Tracciamo una circonferenza di lunghezza φ e, partendo da un punto qualsiasi, segniamo su di essa una sequenza di punti P₁, P₂, P₃ ... P_n, distanti ciascuno un arco di lunghezza 1 dal precedente, proseguendo sempre nello stesso senso, orario o antiorario, come mostra la figura, fermandoci dopo aver segnato un qualsiasi numero di punti.

 

 

La differenza degli indici di due punti consecutivi è sempre un numero di Fibonacci.

 

Passando alla fisica, guardate questo circuito.

 

 

Se tutti i resistori mostrati sono da 1 Ohm e la corrente che attraversa l’ultimo a destra è 1 A, le tensioni ai capi dei resistori, considerandoli nell’ordine della numerazione, sono di 1V, 1V, 2V, 3V, 5V etc. e la resistenza di un circuito con 2n resistori è , che tende a φ all’aumentare del numero di resistori.

In generale se i resistori della fila superiore (R2, R4, R6, ...) sono tutti da x Ohm, gli altri restando di 1 Ohm, la resistenza totale è , dove i polinomi b_n(x) e B_n(x) furono introdotti da A.M. Morgan-Voyce e da lui prendono il nome.

Se la tensione ai capi dell’ultima resistenza a destra è 1 Volt, la tensione di alimentazione è b_{n – 1}(x) Volt e la corrente è B_{n – 1}(x) Ampere.

 

Un raggio luminoso che attraversi 3 lastre di materiale semiriflettente, che possono lasciarlo passare o rifletterlo, uscirà dopo n riflessioni con F_{n + 2} percorsi differenti. Per esempio, ci sono F₆ = 8 cammini con 4 riflessioni, mostrati nella figura seguente.

 

 

 

William Hooper propose nel 1774 in Rational Recreations un problema divenuto famoso e da allora comparso innumerevoli volte, in forme e varianti differenti, in riviste e testi vari.

Si divide un quadrato 8 × 8 in quattro parti, come mostra la figura seguente.

 

 

Le parti sono poi riunite a formare il rettangolo 5 × 13 mostrato di seguito.

 

L’area del quadrato è però 8 • 8 = 64 quadratini, mentre quella del rettangolo è 5 • 13 = 65; com’è possibile?

La spiegazione del paradosso è che la “diagonale” centrale del rettangolo è in realtà una lunga e stretta losanga di area pari a un quadratino, come mostra la figura seguente (in proporzioni fortemente esagerate).

 

Il paradosso è basato su una ben nota relazione dei numeri di Fibonacci: , scoperta dall’astronomo J.D. Cassini (Histoire Academie Royal Paris, 1680) e detta “identità di Cassini”. Infatti il lato del quadrato è il numero di Fibonacci F_n (nel nostro caso n = 6 e F₆ = 8) e i lati del rettangolo sono i numeri di Fibonacci precedente e seguente F_{n – 1} e F_{n + 1}, F₅ = 5 e F₇ = 13 nel nostro caso. I due triangoli rettangoli hanno cateti F_n e F_{n – 2} e i due trapezi hanno basi F_{n – 2} e F_{n – 1} e altezza F_{n – 1}.

Qualsiasi valore di n produce un paradosso analogo, col rettangolo che ha area maggiore del quadrato se n è pari, minore se è dispari (in questo caso il parallelogramma centrale è un’area di sovrapposizione tra le parti).

La scelta n = 6 è la più comune, perché il parallelogramma centrale è tanto sottile da essere difficilmente osservabile, anche in un modello di cartoncino ben fatto, mentre i valori dei lati permettono calcolare le aree a mente.

Il parallelogramma ha lati  e  e altezza rispetto al lato maggiore ; nel nostro caso, con quadrati di lato 1 cm, l’altezza è quindi  mm.

Nel 1962 A.F. Horadam dimostrò che l’angolo minore del parallelogramma è ; nel nostro caso è .

Tabelle numeriche

I numeri di Fibonacci fino a F₁₀₀₀.

Vedi anche

Coefficienti fibonomiali, Congetture di Zhi-Wei Sun sulle sequenze, Costante binaria di Fibonacci, Costante del reciproco di Fibonacci, Fattoriali di Fibonacci, Funzione F_x, Numeri di Fibonacci gaussiani, Numeri di Fibonacci generalizzati, Numeri di Lehmer (I), Numeri di Lucas (I), Numeri di Lucas generalizzati, Numeri di Pisano, Numeri di tribonacci, Numeri di Vibonacci, Numeri fortunati di Fibonacci, Polinomi di Fibonacci, Primi di Wall – Sun – Sun, Pseudoprimi di Fibonacci, π, φ.

Bibliografia

• Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosità matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
• Bicknell, Majorie;  Hoggatt, Verner E. Jr.;  Fibonacci’s Problem Book, The Fibonacci Association, 1974 -

  Una miniera di problemi e relazioni interessanti, che coinvolgono i numeri di Fibonacci e di Lucas.

• Catanzaro, Michele;  "Le ambigue forme delle piante" in Le Scienze, n. 452, Aprile 2006, pag. 42 – 43.
• Cook, Theodore Andrea;  The Curves of Life, New York, Dover, ristampa dell’originale pubblicato da Constable and Co. Londra, 1914, 1979 -

  Un curioso trattato su spirali ed eliche, in natura e nelle opere umane. Leggendolo viene da chiedersi cosa avrebbe detto (e scritto) l’Autore se avesse saputo che la curva descritta dal DNA, la vera “curva della vita” è un’elica.

• Cooper, C.;  Kennedy, R.E.;  "Variations on a 5 × 5 Seating Rearrangement Problem" in Mathematics in College, Fall-Winter, City University of New York, 1993.
• Davis, Martin;  Hersh, Reuben;  "Il decimo problema di Hilbert" in Le Scienze, Milano, n. 66, Febbraio 1974, pag. 84 - 92.
• Daykin, D.E.;  "Representation of Natural Numbers As Sums of Generalized Fibonacci Numbers" in Journal of London Mathematical Society, n. 35, 1960, pag. 143 – 160.
• De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

  Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

• Dudeney, Henry Ernest;  536 Puzzles and Curious Problems, Souvenir press, 1967.
• Dunlap, Richard A.;  The Golden ratio and Fibonacci Numbers, Singapore, World Scientific Publishing Co., 1997.
• Finkelstein, R.;  London, H.;  "On Fibonacci and Lucas numbers that are perfect powers" in Fibonacci Quarterly, n. 7, 1969.
• Gardner, Martin;  "Giochi matematici" in Le Scienze, Milano, n. 12, agosto 1969, pag. 99 – 103.
• Gardner, Martin;  Mathematical Circus, New York, Alfred A. Knopf, ristampato New York, Vintage Books, 1981, 1979.
• Garlad, Trudi Hammel;  Fascinating Fibonaccis: Mystery and Magic in Numbers, Palo Alto, Seymour, 1987.
• Guy, Richard K.;  Nowalkowski, Richard;  "A Recurrence of Fibonacci" in The American Mathematical Monthly, n. 103, dicembre 1996, pag. 854 – 869.
• Honsberger, Ross;  In Pólya’s Footsteps, The Mathematical Association of America, 1997 -

  Una magnifica raccolta di problemi a sfondo matematico e geometrico di vario tipo.

• Honsberger, Ross;  Mathematical Gems III, The Mathematical Association of America,, 1985.
• Horadam, A.F.;  "Eight hundred years young" in The Australian Mathematics Teacher, n. 31, 1975, pag. 123 – 134.
• Huntley, H.E.;  The Divine Proportion, a Study in Mathematical Beauty, Dover, 1970.
• Klamkin, Murray S.;  International Mathematical Olympiads 1978 – 1985, Washington, The Mathematical Association of America, 1986 -

  Raccolta di problemi stimolanti, alla portata di studenti delle medie superiori.

• Koshy, Thomas;  Fibonacci and Lucas Numbers with Applications, New York, John Wiley & Sons, 2001.
• Luca, Florian;  Stănică, Pantelimon;  "Fibonacci Numbers that Are not Sums of Two Prime Powers" in Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 133, n. 7, pagg. 1887 – 1990, febbraio 2005.
• Pickover, Clifford A.;  A Passion for Mathematics, Hoboken, John Wiley & Sons, 2005.
• Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

  Una miniera di informazioni sugli interi.

• Stanley, Richard P.;  Enumerative Combinatorics, Cambridge University Press, vol. I, 1997.
• Vajda, Steven;  Fibonacci and Lucas Numbers, and the Golden Section, Mineola, New York, Dover, 2008.
• Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

  Una miniera di informazioni sui numeri primi.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.