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Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Occorrenze in teoria dei numeri
  3. 3. Occorrenze in matematica combinatoria
  4. 4. Occorrenze in algebra
  5. 5. Occorrenze in biologia
  6. 6. Altre occorrenze
  7. 7. Proprietà legate ai divisori
  8. 8. Altre proprietà
  9. 9. Formule per i numeri di Fibonacci
  10. 10. Formule per somme di numeri di Fibonacci
  11. 11. Formule per prodotti e potenze di numeri di Fibonacci
  12. 12. Serie finite con numeri di Fibonacci
  13. 13. Serie infinite con numeri di Fibonacci
  14. 14. Serie con reciproci dei numeri di Fibonacci
  15. 15. Altre formule
  16. 16. Valori

I numeri di Fibonacci compaiono inaspettatamente in biologia, ma senza alcuna relazione con i conigli.

 

Tra le occorrenze in botanica, considerate i numeri di petali di alcuni fiori:

  • giglio e iris 3;

  • aquilegia, belladonna, consolidi reali, garofano, primula, ranuncolo e rosa selvatica 5;

  • celidonia, cosmea, fiorcappuccio e alcune consolidi reali 8;

  • botton d’oro, calendula, camomilla, cineraria, erba colderina e erba columbina 13;

  • cicoria e alcuni astri 21;

  • piretro e platano 34;

  • margherite 13, 21, 34, 55 o 89.

 

I semi di girasole sono disposti lungo due famiglie di spirali logaritmiche, una avvolta in senso orario, l’altra in senso antiorario. I numeri di spirali, contandole nei due sensi, sono generalmente numeri di Fibonacci consecutivi, solitamente 34 e 55, ma girasoli giganti arrivano a 89 e 144 e il numero di Novembre di The Scientific Monthly 1951 riporta la notizia di un girasole con 144 e 233 spirali, rinvenuto dai coniugi O’Connell nel Vermont. Sono stati osservati anche girasoli con numeri di spirali che sono numeri di Lucas consecutivi.

I frutti di ananas mostrano un fenomeno analogo nelle loro sporgenze, come pure i semi in una pigna, le infiorescenze del cavolfiore e le foglie del carciofo.

 

Le foglie di molte piante crescono lungo i rami seguendo un percorso a spirale periodico; il numero di giri completi e di foglie per in ogni periodo sono numeri di Fibonacci:

  • 1 giro e 2 foglie per olmo e tiglio;

  • 1 giro e 3 foglie per carice, faggio, mora e nocciolo;

  • 2 giri e 5 foglie per agrifoglio, albicocco, ciliegio, melo, quercia, senecione e susino;

  • 3 giri e 8 foglie per pera, pioppo, rosa, platano e salice;

  • 5 giri e 13 foglie per porro, mandorlo e salice.

 

I botanici tedeschi Schimper e Braun nel 1830 e il francese Bravais nel 1837 furono i primi a notare che i numeri di Fibonacci determinano la disposizione delle foglie nelle piante superiori, anche se già Bonnet nel 1754 aveva notato la frequenza dellla disposizione di 5 foglie ogni 2 giri, e con l’aiuto del matematico Calandrini aveva proposto una spiegazione basata su una disposizione elicoidale delle gemme.

 

Solo di recente si è iniziato a capire i profondi legami tra i numeri di Fibonacci e l’accrescimento delle piante, che dipendono da meccanismi di controllo semplici ed eleganti, volti, per esempio, a massimizzare la luce che ogni foglia può ricevere.

Nel caso di pigne, ananas e girasoli, il vantaggio di questa disposizione è che mantiene un addensamento all’incirca uniforme, continuando a produrre nuove unità esclusivamente al centro.

 

Nel 1875 Wiesner dimostrò che la minima sovrapposizione tra foglie successive di uno stesso ramo (nella direzione della crescita del ramo, e quindi verso la luce) si realizza quando le stesse sono spaziate di un angolo Angolo che consente la minima sovrapposizione tra foglie di giri successivi, pari a circa 137° 30’ 27.951”. Gli angoli derivanti dai rapporti sopra indicati tra numero di foglie e numero di giri sono buone approssimazioni di questo valore.

 

Nel 1901 A.H. Church propose una prima teoria per spiegare la crescita delle foglie e le disposizioni a spirali sopra menzionate, partendo dalla considerazione che la spirale logaritmica e l’elica (con retta e cerchio come casi limite) sono le sole curve nelle quali ogni parte sia simile a ogni altra e mostrando come tali curve possano essere generate con un unico meccanismo e si adattino naturalmente a un organismo in crescita, nel quale ogni parte rimane simile a se stessa mentre aumenta di dimensione.

 

Per correttezza segnalo che alcuni ricercatori, tra i quali Todd Cooke, propongono modelli di accrescimento dei vegetali differenti, che non chiamano in causa i numeri di Fibonacci e che riducono alcuni dei casi presentati al rango di semplici coincidenze (si veda anche l'articolo di MIchele Catanzaro, citato nella bibliografia).

 

Per altri dettagli botanici rimando al libro di Cook citato nella bibliografia.

 

Tra le api, i maschi sono generati partenogeneticamente dalle femmine, mentre le femmine nascono da un accoppiamento tra la regina e un maschio. Pertanto i maschi hanno 1 genitore, le femmine 2. Un maschio avrà quindi 3 nonni, due femmine e un maschio, e 5 bisnonni, tre femmine e 2 maschi, e in generale Fn – 1 antenati di n-esima generazione, Fn – 2 femmine e Fn – 3 maschi.

Bibliografia

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    Una miniera di problemi e relazioni interessanti, che coinvolgono i numeri di Fibonacci e di Lucas.

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    Un curioso trattato su spirali ed eliche, in natura e nelle opere umane. Leggendolo viene da chiedersi cosa avrebbe detto (e scritto) l’Autore se avesse saputo che la curva descritta dal DNA, la vera “curva della vita” è un’elica.

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    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

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    Una magnifica raccolta di problemi a sfondo matematico e geometrico di vario tipo.

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    Raccolta di problemi stimolanti, alla portata di studenti delle medie superiori.

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    Una miniera di informazioni sugli interi.

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    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

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