Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Occorrenze in teoria dei numeri
  3. 3. Occorrenze in matematica combinatoria
  4. 4. Occorrenze in algebra
  5. 5. Occorrenze in biologia
  6. 6. Altre occorrenze
  7. 7. Proprietà legate ai divisori
  8. 8. Altre proprietà
  9. 9. Formule per i numeri di Fibonacci
  10. 10. Formule per somme di numeri di Fibonacci
  11. 11. Formule per prodotti e potenze di numeri di Fibonacci
  12. 12. Serie finite con numeri di Fibonacci
  13. 13. Serie infinite con numeri di Fibonacci
  14. 14. Serie con reciproci dei numeri di Fibonacci
  15. 15. Altre formule
  16. 16. Valori

Nella matematica combinatoria i numeri di Fibonacci spuntano un po’ dovunque.

 

Il numero di composizioni di n in parti uguali a 1 o 2 è il numero di Fibonacci Fn + 1. Per esempio, il numero di composizioni del genere di 5 è F6 = 8: 1 + 1 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 2, 1 + 1 + 2 + 1, 1 + 2 + 1 + 1, 2 + 1 + 1 + 1, 1 + 2 + 2, 2 + 1 + 2 e 2 + 2 + 1.

Analogamente si può salire una scala di n gradini salendone 1 o 2 per volta in Fn + 1 modi diversi e, come sapevano gli antichi letterati indiani, si può comporre un verso di n sillabi brevi o lunghe (che contano come due brevi) in Fn + 1 modi diversi..

 

Il numero di composizioni di n in parti maggiori di 1 è il numero di Fibonacci Fn – 1. Per esempio, il numero di composizioni del genere di 6 è F5 = 5: 6, 4 + 2, 2 + 4, 3 + 3, 2 + 2 + 2.

 

Il numero di sottoinsiemi degli interi da 1 a n che contengono solo interi maggiori o uguali al numero di elementi contenuti è Fn + 2. Per esempio, per n = 4 tali sottoinsiemi sono F6 = 8: { }, { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 4 }, { 2, 3 }, { 2, 4 } e { 3, 4 }.

 

Il numero di sottoinsiemi degli interi da 1 a n che non contengano due interi consecutivi è Fn + 2; per esempio, per n = 4 vi sono F6 = 8 insiemi del genere: { }, { 1 },{ 2 }, { 3 }, { 4 }, { 1, 3 }, { 1, 4 }, { 2, 4 }. Se si considerano consecutivi 1 e n, il numero è il numero di Lucas Ln = Fn + 1 + Fn – 1; per esempio, per n = 4 vi sono L4 = 7 insiemi del genere: { }, { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 4 }, { 1, 3 } e { 2, 4 }.

 

Si può formare un sottoinsieme con un numero pari degli interi da 1 a 2n di parità alternata col primo elemento dispari in F2n + 1 modi diversi. Per esempio, per n = 3 abbiamo F7 = 13 insiemi: { }, { 1, 2 }, { 1, 4 }, { 1, 6 }, { 3, 4 },{ 3, 6 }, { 5, 6 }, { 1, 2, 3, 4 }, { 1, 2, 3, 6 }, { 1, 2, 5, 6 }, { 1, 4, 5, 6 }, { 3, 4, 5, 6 } e { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }.

 

Si può formare una sequenza crescente con interi da 1 a n di parità alternata col primo elemento dispari in Fn + 2 modi diversi. Per esempio, per n = 5 abbiamo F7 = 13 sequenze: { }, { 1 }, { 1, 2 },{ 1, 2 3 }, { 1, 2, 3, 4 }, { 1, 2, 3, 4, 5 }, { 1, 2, 5 }, { 1, 4 }, { 1, 4, 5 }, { 3 }, {3, 4 }, { 3, 4, 5 } e { 5 }.

 

Il numero di sequenze di n elementi che possono essere solo 0 o 1 senza due 1 consecutivi è Fn + 2. Per esempio, ci sono F6 = 8 sequenze del genere di 4 elementi: { 0, 0, 0, 0 }, { 0, 0, 0, 1 }, { 0, 0, 1, 0 }, { 0, 1, 0, 0 }, { 0, 1, 0, 1 }, { 1, 0, 0, 0 }, { 1, 0, 0, 1 } e { 1, 0, 1, 0 }.

 

Il numero di sequenze di n elementi che possono essere solo 0 o 1 senza un numero pari di 0 o 1 consecutivi è 2Fn + 1. Per esempio, ci sono 2F5 = 6 sequenze del genere di 4 elementi: { 0, 0, 0, 1 }, { 0, 1, 0, 1 }, { 0, 1, 1, 1 }, { 1, 0, 0, 0 }, { 1, 0, 1, 0 } e { 1, 1, 1, 0 }.

 

Il numero di sequenze di n elementi che possono essere solo 0 o 1 senza un numero dispari di 1 consecutivi è Fn + 1. Per esempio, ci sono F5 = 5 sequenze del genere di 4 elementi: { 0, 0, 0, 0 }, { 0, 0, 1, 1 }, { 0, 1, 1, 0 }, { 1, 1, 0, 0 } e { 1, 1, 1, 1 }.

 

Il numero di sequenze di n elementi che possono essere solo 0 o 1, alternativamente non crescenti e non decrescenti, cioè tali che a2k – 1a2ka2k + 1, è Fn + 2. Per esempio, ci sono F6 = 8 sequenze del genere di 4 elementi: { 0, 0, 0, 0 }, { 0, 0, 0, 1 }, { 0, 1, 0, 0 }, { 0, 1, 0, 1 }, { 0, 1, 1, 1 }, { 1, 1, 0, 0 }, { 1, 1, 0, 1 } e { 1, 1, 1, 1 }.

 

Il numero di sequenze di n elementi che possono essere solo 0, 1 o 2, tali che uno 0 non sia mai seguito immediatamente da un 1 è F2n + 2. Per esempio, ci sono F8 = 21 sequenze del genere di 3 elementi: { 0, 0, 0 }, { 0, 0, 2 }, { 0, 2, 0 }, { 0, 2, 1 }, { 0, 2, 2 }, { 1, 0, 0 }, { 1, 0, 2 }, { 1, 1, 0 }, { 1, 1, 1 }, { 1, 1, 2 }, { 1, 2, 0 }, { 1, 2, 1 }, { 1, 2, 2 }, { 2, 0, 0 }, { 2, 0, 2 }, { 2, 1, 0 }, { 2, 1, 1 }, { 2, 1, 2 }, { 2, 2, 0 }, { 2, 2, 1 } e { 2, 2, 2 }.

 

Il numero di permutazioni dei primi n interi tali che ogni numero sia al massimo a un posto di distanza dalla sua posizione nella sequenza naturale è Fn + 1. Per esempio, per n = 4 vi sono F5 = 5 permutazioni del genere: { 1, 2, 3, 4 }, { 1, 2, 4, 3 }, { 1, 3, 2, 4 }, { 2, 1, 3, 4 } e { 2, 1, 4, 3 }.

Se la distanza permessa sale a 2, il numero di permutazioni è dato dalla ricorrenza a0 = 1, a1 = 1, a2 = 2, a3 = 6, a4 = 14, an = 2(an – 1 + an – 3) – an – 5. Esistono ricorrenze analoghe per distanze maggiori, ma al crescere della distanza massima diventano molto rapidamente spaventose.

 

Diciamo che un insieme S genera l’insieme degli interi da 1 a n se ognuno di essi è un elemento di S o un elemento di S più uno; i sottoinsiemi degli interi da 1 a n che generano l’insieme degli interi da 1 a n + 1 sono Fn. Per esempio, i sottoinsiemi degli interi da 1 a 5 che generano l’insieme degli interi da 1 a 6 sono F5 = 5: { 1, 2, 3, 4, 5 }, { 1, 2, 3, 5 }, { 1, 2, 4, 5 }, { 1, 3, 4, 5 } e { 1, 3, 5 }.

 

Si può ricoprire una scacchiera 2 × n con tessere del domino in Fn + 1 modi diversi. Per esempio, ci sono F5 = 5 modi per ricoprire una scacchiera 2 × 4, mostrati nella figura seguente.

 

Modi per ricoprire una scacchiera 2 × 4 con tessere del domino

 

 

Se abbiamo una griglia rettangolare n × m contenente un oggetto in ogni casella e vogliamo spostare gli oggetti in modo che alla fine ogni casella ne contenga sempre uno, nessuno sia nella casella di partenza e ciascuno si trovi in una casella ortogonalmente adiacente a quella di partenza, possiamo farlo se e solo se n e m non sono entrambi dispari. Determinare il numero di modi è un problema tuttora aperto nel caso generale; se la griglia è 2 × n, R.E. Kennedy e C. Cooper dimostrarono nel 1993 che il numero di modi è Quadrato del numero di Fibonacci F(n).

 

Se iniziamo con 1, 2 e proseguiamo concatenando ogni volta i due termini precedenti, otteniamo la sequenza: 1, 2, 12, 212, 12212, 21212212 ecc.; in ogni termine i numeri di 2 e 1 sono due numeri di Fibonacci consecutivi. T.F. Mulcrone dimostrò nel 1957 che l’n-esima cifra della sequenza ottenuta concatenando tutti i termini così ottenuti è [nφ] – [(n – 1)φ], dove [x] indica l’intero più vicino a x.

 

Se formiamo pile di monete, divise in strati sovrapposti, in modo che le monete di ogni strato siano orizzontalmente a contatto tra loro e ogni moneta al di sopra del primo strato appoggi su due monete dello strato inferiore, possiamo formare F2n – 1 pile differenti con n monete nello strato inferiore. Per esempio, ci sono F7 = 13 pile che hanno 4 monete alla base, mostrate nella figura seguente.

 

Pile con 4 monete alla base

 

 

Se formiamo pile di quadrati, con lo strato inferiore formato da quadrati con un lato in comune e gli strati superiori formati da quadrati appoggiati su quadrati inferiori (quindi senza ammettere quadrati degli strati superiori senza un quadrato sottostante), scopriamo una curiosa relazione tra i perimetri delle figure risultanti e il numero di disposizioni, mostrati nella tabella seguente.

Perimetro

Disposizioni

Modi

4

Pile con perimetro di 4 unità

1

6

Pile con perimetro di 6 unità

2

8

Pile con perimetro di 8 unità

5

10

Pile con perimetro di 10 unità

13

Vi sono F2n – 3 differenti pile con perimetro uguale a 2n volte il lato del quadrato.

 

Prendiamo esagoni con un lato in comune, disposti su due file e numerati come nella figura seguente.

 

Esagoni con un lato in comune, disposti su due file

 

Il numero di cammini dall’esagono 1 all’esagono n, passando sempre da un esagono a uno adiacente con un numero superiore è Fn. Per esempio, vi sono F6 = 8 cammini del genere da dall’esagono 1 all’esagono 6:

  • 1, 2, 3, 4, 5, 6;

  • 1, 2, 3, 4, 6;

  • 1, 2, 3, 5, 6;

  • 1, 2, 4, 5, 6;

  • 1, 2, 4, 6;

  • 1, 3, 4, 6;

  • 1, 3, 4, 5, 6;

  • 1, 3, 5, 6.

 

Se tracciamo un grafo lineare, formato da n nodi, ciascuno, tranne l’ultimo, connesso al seguente da un arco, avremo un grafo con n – 1 archi. Possiamo ora cancellare in vari modo gli archi, lasciando solo nodi isolati o k coppie di nodi uniti da un arco. La figura seguente mostra i modi per n = 5.

 

Modi per connettere 5 nodi con archi in modo che nessun nodo sia estremo di due archi

 

 

La tabella seguente mostra il numero di nodi per alcune combinazioni di n e k.

n \ k

0

1

2

3

4

5

Totale

1

1

 

 

 

 

 

1

2

1

 

 

 

 

 

1

3

1

1

 

 

 

 

2

4

1

2

 

 

 

 

3

5

1

3

1

 

 

 

5

6

1

4

3

 

 

 

8

7

1

5

6

1

 

 

13

8

1

6

10

4

 

 

21

9

1

7

15

10

1

 

34

10

1

8

21

20

5

 

55

In ogni riga il primo numero è 1, in ogni colonna tranne la prima il primo è 1 e i restanti sono la somma del numero nella riga immediatamente superiore, nella stessa colonna e di quello in nella riga ancora superiore e nella colonna immediatamente a sinistra 1, ossia, chiamando a(n, k) il valore sulla riga n e colonna a(n, k) = a(n – 1, k) + a(n – 2, k – 1) – 1, per n > 2 e k > 1.

Questa tabella ha interessanti proprietà: la seconda colonna contiene i numeri naturali, la successiva i numeri triangolari, la seguente i numeri tetraedrici, poi i numeri ipertetraedrici a 4 dimensioni e così via, mentre la somma dei numeri sulla riga n-esima è Fn + 1 e in questo caso Formula per a(n, k).

Se invece che da una catena partiamo da un anello, nel quale l’ultimo punto è collegato al primo, lo stesso procedimento ci permette di ottenere una tabella simile, mostrata di seguito.

n \ k

0

1

2

3

4

5

Totale

1

1

 

 

 

 

 

1

2

1

2

 

 

 

 

3

3

1

3

 

 

 

 

4

4

1

4

2

 

 

 

7

5

1

5

5

 

 

 

11

6

1

6

9

2

 

 

18

7

1

7

14

7

 

 

29

8

1

8

20

16

2

 

47

9

1

9

27

30

9

 

76

10

1

10

35

50

25

2

123

In ogni riga il primo numero è 1, in ogni colonna tranne la prima il primo è 2 e i restanti sono la somma del numero nella riga immediatamente superiore, nella stessa colonna e di quello in nella riga ancora superiore e nella colonna immediatamente a sinistra, ossia, chiamando b(n, k) il valore sulla riga n e colonna k, b(n, k) = b(n – 1, k) + b(n – 2, k – 1) – 1, per n > 2 e k > 1.

In questo caso Formula per b(n, k), mentre la somma dei numeri sulla riga n-esima è il numero di Lucas Ln.

 

Data un’equazione di secondo grado della forma x2 pxq, con soluzioni r e s, la somma e la differenza delle soluzioni sono date da p e Δ, dove Formula per la radice quadrata del discriminante di un'equazione di secondo grado, ma che possiamo dire della somma e differenza delle loro potenze?

Una formula stupefacente per le somme è Formula per le somme delle potenze delle soluzioni di un'equazione di secondo grado; per esempio, r6 + s6 = p6 + 6p4q + 9p2q2 + 2q3.

Per le differenze esiste un’altra formula altrettanto stupefacente: Formula per le differenze delle potenze delle soluzioni di un'equazione di secondo grado;

per esempio, r6s6 = Δ(p5 + 4p3q + 3pq2).

La stessa matrice ci fornisce i coefficienti per un’altra formula interessante: Formula generale per il calcolo delle potenze di numeri di Lucas (Hoggatt, 1970). Per esempio, Esempio di formula per il calcolo di una potenza di numeri di Lucas.

Bibliografia

  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosità matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • Bicknell, Majorie;  Hoggatt, Verner E. Jr.;  Fibonacci’s Problem Book, The Fibonacci Association, 1974 -

    Una miniera di problemi e relazioni interessanti, che coinvolgono i numeri di Fibonacci e di Lucas.

  • Catanzaro, Michele;  "Le ambigue forme delle piante" in Le Scienze, n. 452, Aprile 2006, pag. 42 – 43.
  • Cook, Theodore Andrea;  The Curves of Life, New York, Dover, ristampa dell’originale pubblicato da Constable and Co. Londra, 1914, 1979 -

    Un curioso trattato su spirali ed eliche, in natura e nelle opere umane. Leggendolo viene da chiedersi cosa avrebbe detto (e scritto) l’Autore se avesse saputo che la curva descritta dal DNA, la vera “curva della vita” è un’elica.

  • Cooper, C.;  Kennedy, R.E.;  "Variations on a 5 × 5 Seating Rearrangement Problem" in Mathematics in College, Fall-Winter, City University of New York, 1993.
  • Davis, Martin;  Hersh, Reuben;  "Il decimo problema di Hilbert" in Le Scienze, Milano, n. 66, Febbraio 1974, pag. 84 - 92.
  • Daykin, D.E.;  "Representation of Natural Numbers As Sums of Generalized Fibonacci Numbers" in Journal of London Mathematical Society, n. 35, 1960, pag. 143 – 160.
  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Dudeney, Henry Ernest;  536 Puzzles and Curious Problems, Souvenir press, 1967.
  • Dunlap, Richard A.;  The Golden ratio and Fibonacci Numbers, Singapore, World Scientific Publishing Co., 1997.
  • Finkelstein, R.;  London, H.;  "On Fibonacci and Lucas numbers that are perfect powers" in Fibonacci Quarterly, n. 7, 1969.
  • Gardner, Martin;  "Giochi matematici" in Le Scienze, Milano, n. 12, agosto 1969, pag. 99 – 103.
  • Gardner, Martin;  Mathematical Circus, New York, Alfred A. Knopf, ristampato New York, Vintage Books, 1981, 1979.
  • Garlad, Trudi Hammel;  Fascinating Fibonaccis: Mystery and Magic in Numbers, Palo Alto, Seymour, 1987.
  • Guy, Richard K.;  Nowalkowski, Richard;  "A Recurrence of Fibonacci" in The American Mathematical Monthly, n. 103, dicembre 1996, pag. 854 – 869.
  • Honsberger, Ross;  In Pólya’s Footsteps, The Mathematical Association of America, 1997 -

    Una magnifica raccolta di problemi a sfondo matematico e geometrico di vario tipo.

  • Honsberger, Ross;  Mathematical Gems III, The Mathematical Association of America,, 1985.
  • Horadam, A.F.;  "Eight hundred years young" in The Australian Mathematics Teacher, n. 31, 1975, pag. 123 – 134.
  • Huntley, H.E.;  The Divine Proportion, a Study in Mathematical Beauty, Dover, 1970.
  • Klamkin, Murray S.;  International Mathematical Olympiads 1978 – 1985, Washington, The Mathematical Association of America, 1986 -

    Raccolta di problemi stimolanti, alla portata di studenti delle medie superiori.

  • Koshy, Thomas;  Fibonacci and Lucas Numbers with Applications, New York, John Wiley & Sons, 2001.
  • Luca, Florian;  Stănică, Pantelimon;  "Fibonacci Numbers that Are not Sums of Two Prime Powers" in Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 133, n. 7, pagg. 1887 – 1990, febbraio 2005.
  • Pickover, Clifford A.;  A Passion for Mathematics, Hoboken, John Wiley & Sons, 2005.
  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

  • Stanley, Richard P.;  Enumerative Combinatorics, Cambridge University Press, vol. I, 1997.
  • Vajda, Steven;  Fibonacci and Lucas Numbers, and the Golden Section, Mineola, New York, Dover, 2008.
  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.