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Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Occorrenze in teoria dei numeri
  3. 3. Occorrenze in matematica combinatoria
  4. 4. Occorrenze in algebra
  5. 5. Occorrenze in biologia
  6. 6. Altre occorrenze
  7. 7. Proprietà legate ai divisori
  8. 8. Altre proprietà
  9. 9. Formule per i numeri di Fibonacci
  10. 10. Formule per somme di numeri di Fibonacci
  11. 11. Formule per prodotti e potenze di numeri di Fibonacci
  12. 12. Serie finite con numeri di Fibonacci
  13. 13. Serie infinite con numeri di Fibonacci
  14. 14. Serie con reciproci dei numeri di Fibonacci
  15. 15. Altre formule
  16. 16. Valori

Le soluzioni intere al sistema di equazioni x2 ≡ –1 mod y, y2 ≡ –1 mod x con x < y sono: x = F2n – 1, y = F2n + 1, per n > 0 (J.C. Owings Jr., 1987).

 

Una sequenza di interi si dice “completa” se è possibile rappresentare ogni numero naturale come somma di numeri distinti della sequenza e “debolmente completa” se è possibile rappresentare in questo modo ogni numero superiore a un limite minimo.

 

I numeri di Fibonacci costituiscono una sequenza completa, che resta tale anche se si elimina un termine qualsiasi, mentre eliminandone due la sequenza che rimane non è neppure debolmente completa. La sequenza Fn = Fn – (–1)n resta invece debolmente completa anche eliminando un qualsiasi numero finito di termini.

Le sequenze di Fibonacci e Lucas sono le uniche sequenze additive complete.

 

La rappresentazione come somma di numeri di Fibonacci distinti è unica solo per i numeri uguali a un numero di Fibonacci meno uno. Anche limitando le rappresentazioni a quelle che non contengono termini consecutivi, né F0 o F1, il teorema di Zeckendorf ci assicura si possono rappresentare tutti i numeri naturali; la rappresentazione è unica (C.G. Lekkerkerker, 1952) ed è quella col minor numero di addendi. La sequenza di Fibonacci è l’unica con questa proprietà (D.E. Daykin, 1960).

 

Possiamo quindi rappresentare ogni intero come sequenza di 0 e 1, dove ogni 1 sta nella posizione (contando da destra) corrispondente a un numero di Fibonacci utilizzato nella somma; dato che non si utilizzano F0 e F1, la cifra all’estrema destra rappresenta F2 = 1. Per esempio, 7 = 5 + 2 = F5 + F3 = 1010F e 30 = 21 + 8 + 1 = F8 + F6 + F2 = 1010001F.

Questa rappresentazione ha alcune proprietà interessanti: i numeri che terminano con un numero pari di 0 e quelli che terminano con un numero dispari formano due sequenze complementari (nel senso che insieme contengono tutti i numeri naturali) e tali che se f(n) è l’n-esimo numero della prima e g(n) è l’n-esimo numero della seconda (quindi f(1) = 1, f(2) = 3, f(3) = 4, g(1) = 2, g(2) = 5, g(3) = 7 ecc.), allora g(n) = f(f(n)) + 1 e questa è l’unica coppia di sequenze crescenti di interi positivi con questa proprietà.

 

Quandò Lamé compì quella che probabilmente è la prima analisi di un algoritmo in senso moderno, determinò che nell’algoritmo di Euclide per la ricerca del massimo comun divisore tra interi non superiori a Fn il numero di divisioni non supera n + 1 e che il caso peggiore è dato da due numeri di Fibonacci consecutivi.

 

Tra le applicazioni più recenti, va ricordato il ruolo centrale che hanno avuto nella dimostrazione di Matyasevich dell’impossibilità di risolvere il decimo problema di Hilbert, ossia di risolvere in un numero finito di passi una generica equazione diofantea. Successivi raffinamenti hanno permesso di dimostrare che è impossibile risolvere in generale un’equazione con 9 o più variabili.

 

Nel 2014 Zhi-Wei Sun avanzò la congettura che per ogni primo p esista un intero n ≤ sqrt/p + 2) + 2, tale che Fn + 1 sia una radice primitiva modulo p; la congettura non vale per Fn, perché per esempio nessun numero di Fibonacci è radice primitiva di 3001.

 

Zhi-Wei Sun avanzò la congettura che per n > 4 esista un numero di Fibonacci minore di n / 2 che non è residuo quadratico modulo n.

Bibliografia

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    Un curioso trattato su spirali ed eliche, in natura e nelle opere umane. Leggendolo viene da chiedersi cosa avrebbe detto (e scritto) l’Autore se avesse saputo che la curva descritta dal DNA, la vera “curva della vita” è un’elica.

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    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

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