Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Occorrenze in teoria dei numeri
  3. 3. Occorrenze in matematica combinatoria
  4. 4. Occorrenze in algebra
  5. 5. Occorrenze in biologia
  6. 6. Altre occorrenze
  7. 7. Proprietà legate ai divisori
  8. 8. Altre proprietà
  9. 9. Formule per i numeri di Fibonacci
  10. 10. Formule per somme di numeri di Fibonacci
  11. 11. Formule per prodotti e potenze di numeri di Fibonacci
  12. 12. Serie finite con numeri di Fibonacci
  13. 13. Serie infinite con numeri di Fibonacci
  14. 14. Serie con reciproci dei numeri di Fibonacci
  15. 15. Altre formule
  16. 16. Valori

I numeri di Fibonacci sono così chiamati in onore di Leonardo Pisano Bigollo (Pisa, 1175 – Pisa, 1240), detto anche Leonardo Fibonacci (da Filius Bonaccii, in quanto figlio di Guglielmo, appartenente alla famiglia Bonacci), che fu il più grande matematico italiano prima del Rinascimento.

Leonardo entrò in contatto con la cultura araba da giovane, vivendo col padre, diplomatico a Bugia, nell’odierna Algeria. Riconoscendo la superiorità della notazione posizionale, di origine indiana e allora già diffusa nel mondo islamico, la diffuse in Europa, insieme con altre scoperte matematiche arabe, scrivendo alcuni libri.

Il primo, e più famoso, è il Liber Abaci, pubblicato nel 1202, nel quale propose il seguente problema: “Quante paia di conigli possono essere prodotti da una coppia iniziale in un anno, se si suppone che ogni mese ogni coppia generi una nuova coppia, a sua volta prolifica a partire dal secondo mese?”

Supponendo che nessun coniglio muoia e i conigli nascano sempre equamente divisi per sesso, ogni mese il numero di coppie sarà uguale al numero di coppie del mese precedente, aumentato delle nuove coppie neonate, a loro volta uguali in numero alle coppie presenti due mesi prima, perché i cuccioli di un mese non sono ancora prolifici. In altre parole, la soluzione può essere espressa in termini di ricorrenza come Fn = Fn – 1 + Fn – 2, dove Fn è il numero di conigli presenti alla fine del mese n – 1. I valori iniziali sono F1 = 1 e F2 = 1; per completezza di solito si aggiunge F0 = 0.

 

La successione risultante 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 … è probabilmente la seconda sequenza come frequenza di utilizzo in matematica, dopo quella dei numeri primi.

 

Fibonacci non diede esplicitamente la definizione ricorsiva, che comparve per la prima volta a opera del matematico olandese Albert Girard (1595 – 1632), ma è molto probabile che ne fosse a conoscenza.

Sembra che i numeri di Fibonacci, con la loro definizione ricorsiva, fossero già noti in India: le prime indagini su essi sono attribuite a Pingala (vissuto in un’epoca incerta, tra il 450 a.C. e il 200 a.C.), poi li trattarono Virahanka (tra il 600 e l’800), Gopāla (prima del 1135) e Hemachandra (circa 1150) e sono un caso particolare di una formula dimostrata da Narayana Pandita (1356). Le ricerche erano state stimolate dal desiderio di contare le possibili combinazioni dei versi contenenti un certo numero di sillabe brevi, tenendo conto della possibilità di sostituire due sillabe brevi adiacenti con una lunga.

 

Dudeney riprese il problema nel XIX secolo e, notando che in realtà solo le femmine contano, lo ripropose in termini di tori e vacche, che generano solo prole femminile, al ritmo di una vitella all’anno.

 

Fu tuttavia solo nel maggio 1876 che la successione, fino ad allora piuttosto ignorata, ricevette il suo nome: quando François Edouard Anatole Lucas se ne servì per dimostrare che 2127 – 1 è primo, le diede il nome di colui che per primo se ne era servito e da allora il nome è rimasto nell’uso comune.

 

Se nessuno dei conigli muore e ogni coppia genera k – 1 nuove coppie (nel problema di Fibonacci k = 2) ogni mese a partire dal secondo, l’età media della popolazione dopo n mesi è Età media della popolazione dopo n mesi, che tende a Limite asintotico per l'età media della popolazione (Filipponi e Singmaster, 1990), ed è sempre 1 nel caso del problema di Fibonacci. Chiaramente la media è abbassata dal gran numero di neonati, di 0 mesi di età.

 

La definizione ricorsiva può anche essere utilizzata all’indietro, definendo numeri di Fibonacci con indice negativo; per questi vale Fn = (–1)n + 1Fn.

La definizione può anche essere estesa a numeri reali, definendo Formula per l'estensione della definizione dei numeri di Fibonacci (vedi funzione Fx), funzione che coincide con la definizione consueta per x intero e preserva la proprietà Fx = Fx – 1 + Fx – 2.

 

Le applicazioni dei numeri di Fibonacci sono innumerevoli, dalla teoria dei numeri all’analisi degli algoritmi, le loro proprietà apparentemente inesauribili sono ben lungi dall’essere completamente esplorate.

 

Se ne interessarono e ne studiarono le proprietà quasi tutti i matematici da Keplero e Cassini a Hardy e Ramanujan. Per avere un’idea delle ricerche svolte su questa “semplice” sequenza, basti dire che la sola bibliografia del libro di Koshy, accurata, ma ben lungi dall’essere esaustiva, occupa 14 pagine.

 

Dal 1963 esiste una rivista, The Fibonacci Quarterly, dedicata principalmente allo studio dei numeri di Fibonacci e delle proprietà della successione e delle generalizzazioni.

Bibliografia

  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosità matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • Bicknell, Majorie;  Hoggatt, Verner E. Jr.;  Fibonacci’s Problem Book, The Fibonacci Association, 1974 -

    Una miniera di problemi e relazioni interessanti, che coinvolgono i numeri di Fibonacci e di Lucas.

  • Catanzaro, Michele;  "Le ambigue forme delle piante" in Le Scienze, n. 452, Aprile 2006, pag. 42 – 43.
  • Cook, Theodore Andrea;  The Curves of Life, New York, Dover, ristampa dell’originale pubblicato da Constable and Co. Londra, 1914, 1979 -

    Un curioso trattato su spirali ed eliche, in natura e nelle opere umane. Leggendolo viene da chiedersi cosa avrebbe detto (e scritto) l’Autore se avesse saputo che la curva descritta dal DNA, la vera “curva della vita” è un’elica.

  • Cooper, C.;  Kennedy, R.E.;  "Variations on a 5 × 5 Seating Rearrangement Problem" in Mathematics in College, Fall-Winter, City University of New York, 1993.
  • Davis, Martin;  Hersh, Reuben;  "Il decimo problema di Hilbert" in Le Scienze, Milano, n. 66, Febbraio 1974, pag. 84 - 92.
  • Daykin, D.E.;  "Representation of Natural Numbers As Sums of Generalized Fibonacci Numbers" in Journal of London Mathematical Society, n. 35, 1960, pag. 143 – 160.
  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Dudeney, Henry Ernest;  536 Puzzles and Curious Problems, Souvenir press, 1967.
  • Dunlap, Richard A.;  The Golden ratio and Fibonacci Numbers, Singapore, World Scientific Publishing Co., 1997.
  • Finkelstein, R.;  London, H.;  "On Fibonacci and Lucas numbers that are perfect powers" in Fibonacci Quarterly, n. 7, 1969.
  • Gardner, Martin;  "Giochi matematici" in Le Scienze, Milano, n. 12, agosto 1969, pag. 99 – 103.
  • Gardner, Martin;  Mathematical Circus, New York, Alfred A. Knopf, ristampato New York, Vintage Books, 1981, 1979.
  • Garlad, Trudi Hammel;  Fascinating Fibonaccis: Mystery and Magic in Numbers, Palo Alto, Seymour, 1987.
  • Guy, Richard K.;  Nowalkowski, Richard;  "A Recurrence of Fibonacci" in The American Mathematical Monthly, n. 103, dicembre 1996, pag. 854 – 869.
  • Honsberger, Ross;  In Pólya’s Footsteps, The Mathematical Association of America, 1997 -

    Una magnifica raccolta di problemi a sfondo matematico e geometrico di vario tipo.

  • Honsberger, Ross;  Mathematical Gems III, The Mathematical Association of America,, 1985.
  • Horadam, A.F.;  "Eight hundred years young" in The Australian Mathematics Teacher, n. 31, 1975, pag. 123 – 134.
  • Huntley, H.E.;  The Divine Proportion, a Study in Mathematical Beauty, Dover, 1970.
  • Klamkin, Murray S.;  International Mathematical Olympiads 1978 – 1985, Washington, The Mathematical Association of America, 1986 -

    Raccolta di problemi stimolanti, alla portata di studenti delle medie superiori.

  • Koshy, Thomas;  Fibonacci and Lucas Numbers with Applications, New York, John Wiley & Sons, 2001.
  • Luca, Florian;  Stănică, Pantelimon;  "Fibonacci Numbers that Are not Sums of Two Prime Powers" in Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 133, n. 7, pagg. 1887 – 1990, febbraio 2005.
  • Pickover, Clifford A.;  A Passion for Mathematics, Hoboken, John Wiley & Sons, 2005.
  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

  • Stanley, Richard P.;  Enumerative Combinatorics, Cambridge University Press, vol. I, 1997.
  • Vajda, Steven;  Fibonacci and Lucas Numbers, and the Golden Section, Mineola, New York, Dover, 2008.
  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.