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Sylvester (numeri di)

Sequenze  Teoria dei numeri 

Si chiamano “numeri di Sylvester” i numeri interi sn definiti dalla sequenza che inizia con s0 = 2 e nella quale ogni termine è il prodotto di tutti i precedenti più uno. In altri termini, Formula per la definizione dei numeri di Sylvester. Ogni termine dopo il primo è il minimo intero che dia resto 1 se diviso per tutti i termini precedenti.

La sequenza prende il nome da James Joseph Sylvester (Londra, 3/9/1814 – Londra, 15/3/1897), che la studiò nel 1880.

 

La tabella seguente mostra i numeri di Sylvester fino a s10.

n

sn

0

2

1

3

2

7

3

43

4

1807

5

3263443

6

10650056950807

7

113423713055421844361000443

8

12864938683278671740537145998360961546653259485195807

9

165506647324519964198468195444439180017513152706377497841851388766535868639572406808911988131737645185443

10

27392450308603031423410234291674686281194364367580914627947367941608692026226993634332118404582438634929548737283992369758487974306317730580753883429460344956410077034761330476016739454649828385541500213920807

 

Un modo alternativo di ottenere i numeri di Sylvester è sottrarre ripetutamente da 1 la massima frazione egizia minore di quanto resta e prendere i denominatori. Per esempio, sottraendo 1 / 2 da 1 resta 1 / 2; la massima frazione egizia minore è 1 / 3 e sottraendola resta 1 / 6; la massima frazione egizia minore è 1 / 7 e sottraendola resta 1 / 42 e così via.

 

La successione di Sylvester è quella dei numeri usati da Euclide nella sua prova dell’esistenza di infiniti primi, pertanto tali numeri sono talvolta detti “numeri di Euclide”.

Spesso nella dimostrazione di Euclide si considera il prodotto dei primi n numeri primi, per dimostrare che Prodotto dei primi n numeri primi più uno deve avere un fattore primo diverso da quelli già noti. In realtà basta considerare il prodotto dei numeri già trovati con la stessa tecnica, ossia Prodotto dei primi n numeri di Sylvester più uno, per trovare un numero che aggiunge almeno un primo all’elenco.

 

Curiosamente si può definire una costante Formula per la definizione di K, tale che Formula per il calcolo di s(n) (Aho e Sloane); la costante fornirebbe un buon metodo per calcolare direttamente un numero di Sylvester, solo che per calcolarla con precisione sufficiente a calcolare sn servono tutti i numeri di Sylvester precedenti.

 

Dato che la successione cresce con grande rapidità, non stupisce che la somma dei reciproci converga; in particolare:

La sequenza dei reciproci converge a 1 più velocemente di qualsiasi altra sequenza di frazioni egizie con lo stesso numero di termini, ovvero i primi n termini della sequenza danno un’approssimazione di 1 migliore di qualsiasi altra somma di frazioni egizie (diversa da 1) con altrettanti termini.

La sequenza permette di costruire una successione infinita di somme di frazioni egizie uguali a 1, sommando i reciproci dei primi n termini e aggiungendo 1 / (s(n + 1) – 1).

 

Se un numero irrazionale tra 0 e 1 viene espresso come somma infinita di frazioni egizie, prendendo ogni volta la massima frazione possibile (ossia con un algoritmo “greedy”), l’n-esimo termine è inferiore a 1 / s(n).

 

Come Sylvester stesso osservò, la sequenza sembra essere l’unica sequenza con crescita doppiamente esponenziale, che abbia una somma dei reciproci razionale (v. sequenze irrazionali).

Si conoscono serie analoghe coinvolgenti rapporti tra sequenze con crescita doppiamente esponenziale con valore razionale, come Serie che converge a un numero razionale, per |x| < 1 (Lucas, 1878).

 

Nel 1880 Sylvester dimostrò che ogni numero reale x maggiore di zero e non maggiore di 1 può essere espresso in un unico modo come Rappresentazione di x come somma di reciprci di interi con i vari an interi positivi e a(n + 1) ≥ a(n)^2 – a(n) + 1; inoltre x è razionale se e solo se a(n + 1) = a(n)^2 – a(n) + 1.

Nel 1980 Paul Erdös e Ronald L. Graham proposero la congettura che per la validità del teorema basti la condizione più debole Limite per n tendente a infinito di a(n + 1) / a(n)^2 uguale a 1.

 

Alcune proprietà dei numeri di Sylvester:

  • nessuno è un quadrato;

  • sono tutti primi tra loro;

  • non se ne conosce alcuno multiplo di un quadrato.

 

Gli unici primi noti nella sequenza sono 2, 3, 7, 43 e 3263443.

 

Solo i termini fino a s10 sono stati completamente scomposti in fattori primi, mentre per quelli fino a s22 e molti superiori si conoscono alcuni fattori primi.

La tabella seguente riporta la scomposizione in fattori primi dei termini fino a s10.

n

Scomposizione di sn

0

2

1

3

2

7

3

43

4

13 • 139

5

3263443

6

547 • 607 • 1033 • 31051

7

29881 • 67003 • 9119521 • 6212157481

8

5295435634831 • 31401519357481261 • 77366930214021991992277

9

181 • 1987 • 112374829138729 • 114152531605972711 • 35874380272246624152764569191134894955972560447869169859142453622851

10

2287 • 2271427 • 21430986826194127130578627950810640891005487 • 246050223975221232774266913064210996086117707324596952612463311257346010043085722410145559489769162645690943002931537403531362894694946009368249974883220589

 

Tutti i fattori primi di un numero di Sylvester hanno –3 come residuo quadratico (Granville).

 

Tranne s0, sn termina con 7, se n è pari, con 3 se n è dispari.

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