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Euleriani di seconda specie (polinomi)

Matematica combinatoria  Polinomi 

I polinomi euleriani di seconda specie sono i polinomi che hanno per coefficienti i numeri euleriani di seconda specie: Formula per la definizione dei polinomi euleriani di seconda specie.

Il polinomio E*n è quindi un polinomio di grado n – 1 a coefficienti interi positivi, con coefficiente del termine di grado massimo uguale a n! e termine di grado zero uguale a 1.

 

I polinomi possono anche essere calcolati con una formula ricorsiva: E*n(x) = 1 e E*n + 1(x) = (2nx + 1)E*n(x) – x(x – 1)E*n(x)’.

 

E*n(1) = (2n – 1)!!.

 

La figura seguente mostra il grafico dei primi polinomi euleriani di seconda specie.

 

Grafico dei primi polinomi euleriani di seconda specie

 

 

La tabella seguente riporta i primi polinomi euleriani di seconda specie.

n

E*n(x)

0

1

1

1

2

2x + 1

3

6x2 + 8x + 1

4

24x3 + 58x2 + 22x + 1

5

120x4 + 444x3 + 328x2 + 52x + 1

6

720x5 + 3708x4 + 4400x3 + 1452x2 + 114x + 1

7

5040x6 + 33984x5 + 58140x4 + 32120x3 + 5610x2 + 240x + 1

8

40320x7 + 341136x6 + 785304x5 + 644020x4 + 195800x3 + 19950x2 + 494x + 1

9

362880x8 + 3733920x7 + 11026296x6 + 12440064x5 + 5765500x4 + 1062500x3 + 67260x2 + 1004x + 1

10

3628800x9 + 44339040x8 + 162186912x7 + 238904904x6 + 155357384x5 + 44765000x4 + 5326160x3 + 218848x2 + 2026x + 1

11

39916800x10 + 568356480x9 + 2507481216x8 + 4642163952x7 + 4002695088x6 + 1648384304x5 + 314369720x4 + 25243904x3 + 695038x2 + 4072x + 1

12

479001600x11 + 7827719040x10 + 40788301824x9 + 92199790224x8 + 101180433024x7 + 56041398784x6 + 15548960784x5 + 2051482776x4 + 114876376x3 + 2170626x2 + 8166x + 1

13

6227020800x12 + 115336085760x11 + 697929436800x10 + 1883079661824x9 + 2549865473424x8 + 1818188642304x7 + 687720046384x6 + 134323420224x5 + 12669817776x4 + 507259276x3 + 6699696x2 + 16356x + 1

14

87178291200x13 + 1810992556800x12 + 12550904017920x11 + 39689578055808x10 + 64728375139872x9 + 57494373464592x8 + 28299910066112x7 + 7634832149392x6 + 1084676512416x5 + 75016052228x4 + 2189829808x3 + 20507988x2 + 32738x + 1

15

1307674368000x14 + 30196376985600x13 + 236908271543040x12 + 865023253219584x11 + 1666424486271456x10 + 1797171220690560x9 + 1111747472569680x8 + 394365587815520x7 + 78391384831312x6 + 8308444327968x5 + 429826006340x4 + 9292526920x3 + 62407890x2 + 65504x + 1

16

20922789888000x15 + 532953524275200x14 + 4687098165573120x13 + 19515249341231616x12 + 43708768764064128x11 + 56071264983487776x10 + 42430156603438560x9 + 19076135772884080x8 + 5036317938475648x7 + 756450802018384x6 + 61026142132648x5 + 2400028258540x4 + 38917528600x3 + 189123286x2 + 131038x + 1

17

355687428096000x16 + 9927928075161600x15 + 97049168010017280x14 + 455924361142656000x13 + 1171582385481357696x12 + 1758073054805500608x11 + 1592677516697452416x10 + 882128824583603520x9 + 297593170417847920x8 + 59958264360283168x7 + 6942861451710184x6 + 433357644035008x5 + 13128749622100x4 + 161343812980x3 + 571432036x2 + 262108x + 1

18

6402373705728000x17 + 194677319705702400x16 + 2099830209402931200x15 + 11030149104146035200x14 + 32157753536587053312x13 + 55666251271784164032x12 + 59321137058404865280x11 + 39572673298262064576x10 + 16558710676700081120x9 + 4297211671488276816x8 + 674066235530150496x7 + 61167401838986520x6 + 2994008352873048x5 + 70645406312880x4 + 663661077072x3 + 1722945672x2 + 524250x + 1

19

121645100408832000x18 + 4008789120817152000x17 + 47405948832458496000x16 + 276260563641659673600x15 + 905080567903692754176x14 + 1786198580035038683136x13 + 2206689692993315764416x12 + 1740743150455672062336x11 + 882384594551784900576x10 + 285909033568672562048x9 + 58222825873768855728x8 + 7227551939410799568x7 + 520986071811970128x6 + 20224703119250448x5 + 375127847107776x4 + 2713224461136x3 + 5187185766x2 + 1048536x + 1

20

2432902008176640000x19 + 86495828444928000000x18 + 1115089078488795648000x17 + 7159894093909966924800x16 + 26142102647955180877824x15 + 58231173019431358391040x14 + 82380712138316751438720x13 + 75687031071216250620480x12 + 45595686452918041964160x11 + 17997592513561138205728x10 + 4605775111899791292320x9 + 748059542985654488160x8 + 74491969813269440640x7 + 4314317705619055680x6 + 134102565517167072x5 + 1970602091678640x4 + 11039636532120x3 + 15600353130x2 + 2097110x + 1

 

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