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Euleriani di seconda specie (numeri)

Matematica combinatoria 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Valori

Il numero di permutazioni di due copie dei numeri interi da 1 a n, tali che per ogni valore di k i numeri che appaiono tra le due copie di k siano maggiori di k è dato da (2n – 1)!! (v. fattoriali doppi).

Il numero euleriano di seconda specie Numero euleriano di seconda specie E(n, k) è il numero di permutazioni di questo tipo con esattamente k numeri seguiti da uno minore.

Per esempio, per n = 3 Numero euleriano di seconda specie E(3, 0) e vi è una permutazione del genere con 0 numeri seguiti da uno minore:

  • 1, 1, 2, 2, 3, 3;

Numero euleriano di seconda specie E(3, 1) e vi sono 8 permutazione del genere con 1 numero seguito da uno minore:

  • 1, 1, 3, 3, 2, 2;

  • 1, 1, 2, 3, 3, 2;

  • 1, 2, 2, 1, 3, 3;

  • 1, 2, 2, 3, 3, 1;

  • 1, 3, 3, 1, 2, 2;

  • 2, 2, 1, 1, 3, 3,

  • 2, 2, 3, 3, 1, 1,

  • 3, 3, 1, 1, 2, 2,

Numero euleriano di seconda specie E(3, 2) e vi sono 6 permutazioni del genere con 2 numeri seguiti da uno minore:

  • 1, 2, 3, 3, 2, 1;

  • 1, 3, 3, 2, 2, 1;

  • 2, 2, 1, 3, 3, 1,

  • 2, 3, 3, 2, 1, 1,

  • 3, 3, 1, 2, 2, 1,

  • 3, 3, 2, 2, 1, 1.

 

Con la ricorrenza Ricorrenza per il calcolo dei numeri euleriani di seconda specie, per 0 < k < n, si possono calcolare i numeri euleriani di seconda specie con un triangolo, simile a quello di Tartaglia (v. coefficienti binomiali), riportato di seguito.

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

8

 

6

 

0

 

 

 

 

 

 

 

1

 

22

 

58

 

24

 

0

 

 

 

 

 

1

 

52

 

328

 

444

 

120

 

0

 

 

 

1

 

114

 

1452

 

4400

 

3708

 

720

 

0

 

1

 

240

 

5610

 

32120

 

58140

 

33984

 

5040

 

0

Ogni numero è la somma dei due immediatamente superiori, moltiplicati per 2nk – 1 e k + 1.

 

Alcune formule per il calcolo dei numeri euleriani di seconda specie.

Valore del numero euleriano di seconda specie E(0, 0) e Valore del numero euleriano di seconda specie E(n, n), per n > 0;

Valore del numero euleriano di seconda specie E(n, 0), per n > 0;

Valore del numero euleriano di seconda specie E(n, 1), per n > 1;

Formula per il calcolo del numero euleriano di seconda specie E(n, n - 2), per n > 2;

Valore del numero euleriano di seconda specie E(n, n - 1), per n > 0;

Formula per il calcolo del numero euleriano di seconda specie E(n, k), per n > 0.

 

Per la somma dei numeri euleriani di seconda specie vale Formula per la somma di numeri euleriani di seconda specie.

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