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Ondulanti (numeri)

Rappresentazione dei numeri 

Sono talvolta chiamati “ondulanti” i numeri naturali di 3 o più cifre, formati da una sequenza di due cifre diverse alternate, come 15151. La restrizione sulle cifre è necessaria, perché altrimenti tutti i numeri di due cifre differenti e quelli di una sola cifra sarebbero ondulanti.

 

Vi sono tra essi quattro quadrati: 121 = 112, 484 = 222, 676 = 262, 69696 = 2642; per anni ne sono stati cercati altri, estendendo le ricerche sino a numeri con un milione di cifre, poi finalmente nel 1999 David Moews dimostrò che non ve ne sono altri.

Analogamente è nota una sola potenza con esponente superiore: 343 = 73, nonostante le ricerche siano state estese a tutti i numeri fino a 100 cifre e alle potenze fino alla trentunesima.

Alcuni ritengono che non vi siano altre potenze ondulanti oltre a quelle riportate, e che il loro numero sia finito in qualsiasi base.

 

Sono noti alcuni quadrati ondulanti in altre basi, come 2922 = 85264 = 4141412.

Da notare che 121 = 112 è un quadrato in qualsiasi base maggiore di 2. La base 2 è l’unica nella quale non esistano quadrati ondulanti, perché nessun quadrato finisce con 101 in base 2.

 

I numeri primi ondulanti minori di 109 sono: 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929, 18181, 32323, 35353, 72727, 74747, 78787, 94949, 95959, 1212121, 1616161, 323232323, 383838383, 727272727, 919191919, 929292929, 979797979, 989898989.

Il massimo primo ondulante noto è 3(23)4799, formato da 9599 3 e 2 alternati (Hans Rosenthal, 2001).

Il massimo primo probabile ondulante noto è 9(49)46490, formato da 92981 9 e 4 alternati (Ray Chandler, 2011).

 

Tra le curiosità segnalo i seguenti esempi di numeri di de Polignac ondulanti: 6161, 14141, 39393, 91919, 1313131, 1818181, 7070707, 7474747, 7676767, 7979797, 59595959, 73737373, 343434343, 757575757, 797979797, 929292929, 1717171717, 3131313131, 9191919191, 12121212121, 14141414141, 18181818181, 32323232323, 54545454545, 78787878787, 91919191919, 7171717171717, 25252525252525, 29292929292929, 37373737373737, 43434343434343, 67676767676767, 97979797979797 (Clifford A. Pickover).

 

I primi numeri harshad ondulanti sono: 171, 252, 414, 828, 1010, 1212, 1818, 2020, 2424, 3030, 3636, 4040, 4848, 5050, 5454, 6060, 7070, 7272, 8080, 9090, 10101, 13131, 20202, 23232, 26262, 30303, 39393.

 

A parte casi banali di numeri inferiori a 100, come 101012 = 21, che non sono realmente ondulanti in base 10, non si conoscono numeri ondulanti sia in base 2 che in base 10, mentre se ne conoscono alcuni ondulanti in due basi diverse:

  • 494949 = 9B9B915,

  • 191919 = 12121211,

  • 383838 = 24242411,

  • 575757 = 36363611,

  • 767676 = 48484811,

  • 959595 = 5A5A5A11.

 

Si conoscono alcuni numeri ondulanti in tre basi diverse, come 2327 = 1718 = 121 e 2020203 = 202024 = 41415 = 546 e due ondulanti in 4 basi: 6067 = 4548 = 3639 = 1A113 = 300 e A0A11 = 85812 = 56515 = 4C416 = 1220 (Ken Shirrif).

Se un intero è ondulante in base b, non è ondulante in base bk, se k pari, ed è ondulante in base bk, se k è dispari. A parte queste famiglie infinite, non si conoscono numeri ondulanti in due basi maggiori di 959595; se esistono, hanno più di 400 cifre o una delle basi è maggiore di 16 (Ken Shirrif).

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