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Euleriani (polinomi)

Matematica combinatoria  Polinomi 

I polinomi euleriani sono i polinomi che hanno per coefficienti i numeri euleriani: Formula per la definizione dei polinomi euleriani.

Sono così chiamati perché Eulero fu il primo a studiarli nel 1755, in Institutiones calculi differentialis (Istituzioni di calcolo differenziale).

 

Il polinomio En è un polinomio di grado n a coefficienti interi positivi, con coefficiente del termine di grado massimo uguale a 1 e termine di grado zero nullo, tranne nel caso di E0.

 

Formula che coinvolge polinomi euleriani è il numero di Bell ordinato b*n.

 

La figura seguente mostra una parte del grafico dei primi polinomi euleriani.

 

Grafico dei primi polinomi euleriani

 

 

La tabella seguente riporta i primi polinomi euleriani.

n

En(x)

0

1

1

x

2

x2 + x

3

x3 + 4x2 + x

4

x4 + 11x3 + 11x2 + x

5

x5 + 26x4 + 66x3 + 26x2 + x

6

x6 + 57x5 + 302x4 + 302x3 + 57x2 + x

7

x7 + 120x6 + 1191x5 + 2416x4 + 1191x3 + 120x2 + x

8

x8 + 247x7 + 4293x6 + 15619x5 + 15619x4 + 4293x3 + 247x2 + x

9

x9 + 502x8 + 14608x7 + 88234x6 + 156190x5 + 88234x4 + 14608x3 + 502x2 + x

10

x10 + 1013x9 + 47840x8 + 455192x7 + 1310354x6 + 1310354x5 + 455192x4 + 47840x3 + 1013x2 + x

11

x11 + 2036x10 + 152637x9 + 2203488x8 + 9738114x7 + 15724248x6 + 9738114x5 + 2203488x4 + 152637x3 + 2036x2 + x

12

x12 + 4083x11 + 478271x10 + 10187685x9 + 66318474x8 + 162512286x7 + 162512286x6 + 66318474x5 + 10187685x4 + 478271x3 + 4083x2 + x

13

x13 + 8178x12 + 1479726x11 + 45533450x10 + 423281535x9 + 1505621508x8 + 2275172004x7 + 1505621508x6 + 423281535x5 + 45533450x4 + 1479726x3 + 8178x2 + x

14

x14 + 16369x13 + 4537314x12 + 198410786x11 + 2571742175x10 + 12843262863x9 + 27971176092x8 + 27971176092x7 + 12843262863x6 + 2571742175x5 + 198410786x4 + 4537314x3 + 16369x2 + x

15

x15 + 32752x14 + 13824739x13 + 848090912x12 + 15041229521x11 + 102776998928x10 + 311387598411x9 + 447538817472x8 + 311387598411x7 + 102776998928x6 + 15041229521x5 + 848090912x4 + 13824739x3 + 32752x2 + x

16

x16 + 65519x15 + 41932745x14 + 3572085255x13 + 85383238549x12 + 782115518299x11 + 3207483178157x10 + 6382798925475x9 + 6382798925475x8 + 3207483178157x7 + 782115518299x6 + 85383238549x5 + 3572085255x4 + 41932745x3 + 65519x2 + x

17

x17 + 131054x16 + 126781020x15 + 14875399450x14 + 473353301060x13 + 5717291972382x12 + 31055652948388x11 + 83137223185370x10 + 114890380658550x9 + 83137223185370x8 + 31055652948388x7 + 5717291972382x6 + 473353301060x5 + 14875399450x4 + 126781020x3 + 131054x2 + x

18

x18 + 262125x17 + 382439924x16 + 61403313100x15 + 2575022097600x14 + 40457344748072x13 + 285997074307300x12 + 1006709967915228x11 + 1865385657780650x10 + 1865385657780650x9 + 1006709967915228x8 + 285997074307300x7 + 40457344748072x6 + 2575022097600x5 + 61403313100x4 + 382439924x3 + 262125x2 + x

19

19

x19 + 524268x18 + 1151775897x17 + 251732291184x16 + 13796160184500x15 + 278794377854832x14 + 2527925001876036x13 + 11485644635009424x12 + 27862280567093358x11 + 37307713155613000x10 + 27862280567093358x9 + 11485644635009424x8 + 2527925001876036x7 + 278794377854832x6 + 13796160184500x5 + 251732291184x4 + 1151775897x3 + 524268x2 + x

20

x20 + 1048555 x19 + 3464764515x18 + 1026509354985x17 + 73008517581444x16 + 1879708669896492x15 + 21598596303099900x14 + 124748182104463860x13 + 388588260723953310x12 + 679562217794156938x11 + 679562217794156938x10 + 388588260723953310x9 + 124748182104463860x8 + 21598596303099900x7 + 1879708669896492x6 + 73008517581444x5 + 1026509354985x4 + 3464764515x3 + 1048555x2 + x

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