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Euleriani (polinomi)

Matematica combinatoria  Polinomi 

I polinomi euleriani sono i polinomi che hanno per coefficienti i numeri euleriani: Formula per la definizione dei polinomi euleriani.

Sono così chiamati perché Eulero fu il primo a studiarli nel 1755, in Institutiones calculi differentialis (Istituzioni di calcolo differenziale).

 

Il polinomio En è un polinomio di grado n – 1 (per n > 0) a coefficienti interi positivi, con il coefficiente del termine di grado massimo e il termine di grado zero uguali a 1.

 

I polinomi euleriani possono essere calcolati con la ricorrenza E0(x) = 1, Formula per il calcolo dei polinomi euleriani.

 

Alcune proprietà:

En(2) è il numero di Bell ordinato b*n;

Formula che coinvolge i polinomi euleriani;

Formula per il calcolo dei polinomi euleriani.

 

La funzione generatrice esponenziale è Funzione generatrice esponenziale dei polinomi euleriani.

 

La figura seguente mostra una parte del grafico dei primi polinomi euleriani.

 

Grafico dei primi polinomi euleriani

 

 

La tabella seguente riporta i polinomi euleriani fino a E20(x).

n

En(x)

0

1

1

1

2

x + 1

3

x2 + 4x + 1

4

x3 + 11x2 + 11x + 1

5

x4 + 26x3 + 66x2 + 26x + 1

6

x5 + 57x4 + 302x3 + 302x2 + 57x + 1

7

x6 + 120x5 + 1191x4 + 2416x3 + 1191x2 + 120x + 1

8

x7 + 247x6 + 4293x5 + 15619x4 + 15619x3 + 4293x2 + 247x + 1

9

x8 + 502x7 + 14608x6 + 88234x5 + 156190x4 + 88234x3 + 14608x2 + 502x + 1

10

x9 + 1013x8 + 47840x7 + 455192x6 + 1310354x5 + 1310354x4 + 455192x3 + 47840x2 + 1013x + 1

11

x10 + 2036x9 + 152637x8 + 2203488x7 + 9738114x6 + 15724248x5 + 9738114x4 + 2203488x3 + 152637x2 + 2036x + 1

12

x11 + 4083x10 + 478271x9 + 10187685x8 + 66318474x7 + 162512286x6 + 162512286x5 + 66318474x4 + 10187685x3 + 478271x2 + 4083x + 1

13

x12 + 8178x11 + 1479726x10 + 45533450x9 + 423281535x8 + 1505621508x7 + 2275172004x6 + 1505621508x5 + 423281535x4 + 45533450x3 + 1479726x2 + 8178x + 1

14

x13 + 16369x12 + 4537314x11 + 198410786x10 + 2571742175x9 + 12843262863x8 + 27971176092x7 + 27971176092x6 + 12843262863x5 + 2571742175x4 + 198410786x3 + 4537314x2 + 16369x + 1

15

x14 + 32752x13 + 13824739x12 + 848090912x11 + 15041229521x10 + 102776998928x9 + 311387598411x8 + 447538817472x7 + 311387598411x6 + 102776998928x5 + 15041229521x4 + 848090912x3 + 13824739x2 + 32752x + 1

16

x15 + 65519x14 + 41932745x13 + 3572085255x12 + 85383238549x11 + 782115518299x10 + 3207483178157x9 + 6382798925475x8 + 6382798925475x7 + 3207483178157x6 + 782115518299x5 + 85383238549x4 + 3572085255x3 + 41932745x2 + 65519x + 1

17

x16 + 131054x15 + 126781020x14 + 14875399450x13 + 473353301060x12 + 5717291972382x11 + 31055652948388x10 + 83137223185370x9 + 114890380658550x8 + 83137223185370x7 + 31055652948388x6 + 5717291972382x5 + 473353301060x4 + 14875399450x3 + 126781020x2 + 131054x + 1

18

x17 + 262125x16 + 382439924x15 + 61403313100x14 + 2575022097600x13 + 40457344748072x12 + 285997074307300x11 + 1006709967915228x10 + 1865385657780650x9 + 1865385657780650x8 + 1006709967915228x7 + 285997074307300x6 + 40457344748072x5 + 2575022097600x4 + 61403313100x3 + 382439924x2 + 262125x + 1

19

x18 + 524268x17 + 1151775897x16 + 251732291184x15 + 13796160184500x14 + 278794377854832x13 + 2527925001876036x12 + 11485644635009424x11 + 27862280567093358x10 + 37307713155613000x9 + 27862280567093358x8 + 11485644635009424x7 + 2527925001876036x6 + 278794377854832x5 + 13796160184500x4 + 251732291184x3 + 1151775897x2 + 524268x + 1

20

x19 + 1048555 x18 + 3464764515x17 + 1026509354985x16 + 73008517581444x15 + 1879708669896492x14 + 21598596303099900x13 + 124748182104463860x12 + 388588260723953310x11 + 679562217794156938x10 + 679562217794156938x9 + 388588260723953310x8 + 124748182104463860x7 + 21598596303099900x6 + 1879708669896492x5 + 73008517581444x4 + 1026509354985x3 + 3464764515x2 + 1048555x + 1

 

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