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Beal (congettura di)

Congetture  Teoria dei numeri 

Una generalizzazione dell’equazione di Fermat è l’equazione xn + ym = zp, della quale si cercano le soluzioni intere positive, fissati gli esponenti.

 

E’ facile costruire infinite soluzioni se x, y e z possono avere un divisore comune: scegliamo tre interi a, b e c tali che a + b = c e prendiamo q multiplo di mp e tale che diviso per n dia resto n – 1; r multiplo di np e tale che diviso per m dia resto m – 1 e s multiplo di nm e tale che diviso per p dia resto p – 1: una soluzione sarà allora data da Formula per x, Formula per y, e Formula per z.

Infatti xn = aq + 1brbs, ym = aqbr + 1cs, zp = aqbrcs + 1 e xn + ym = aqbrcs(a + b) = aqbrcs + 1 = zp.

Per esempio, prendiamo arbitrariamente n = 3, m = 5, p = 7, allora scegliamo a = 1, b = 2, c = 3, q = 35, r = 84 e s = 90: allora x = 228330 = 55268479930183339474944, y = 217318 = 50779978334208, z = 212313 = 6530347008 e 552684799301833394749443 + 507799783342085 = 65303470087.

 

Se x, y e z non hanno un divisore comune, bisogna distinguere tre casi.

Se Formula per la definizione del caso detto “iperbolico” (caso detto “iperbolico”), la congettura di Fermat – Catalan è che esista un numero finito di soluzioni; in tutte le 10 soluzioni note un esponente è 2.

Se Formula per la definizione del caso detto “parabolico” (caso detto “parabolico” o “euclideo”), esiste una sola soluzione: 16 + 23 = 32.

Se Formula per la definizione del caso detto “ellittico” (caso detto “ellittico” o “sferico”), escluso il caso banale nel quale uno degli esponenti è 1, F. Beukers dimostrò nel 1998 che esiste un numero finito di soluzioni parametriche, nelle quali x, y e z sono espresse come polinomi omogenei rispetto a due parametri. Le soluzioni possono essere raggruppate in quattro gruppi:

  • due esponenti uguali a 2 e uno maggiore o uguale a 2;

  • due esponenti uguali a 3 e uno uguale a 2;

  • esponenti uguali a 2, 3 e 4;

  • esponenti uguali a 2, 3 e 5.

Nell’ultimo caso sono note 22 famiglie di soluzioni, ma potrebbero essercene altre; negli altri casi sono note tutte le soluzioni.

 

Da notare quindi che in tutte le soluzioni note (escluse quelle banali) almeno un esponente è 2.

In effetti il milionario americano Andrew Beal propose nel 1997 la “congettura di Beal” (nota anche come “congettura di Tijdeman – Zagier”), ossia che in tutte le soluzioni almeno uno degli esponenti è 2, offrendo un sostanzioso premio per chi fosse riuscito a dimostrarla o a trovare un controesempio. L’unico caso ancora aperto è quello iperbolico, nel quale non è certo che tutte le soluzioni siano state trovate.

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