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Magata (costante di)

Teoria dei numeri  Vari 

La costante di Magata è una delle più strabilianti costanti nelle quali mi sia imbattuto.

Per la verità non siamo neppure certi che esista, ma procediamo con ordine.

Nel 1998 Frederick Magata ebbe l’idea di interpolare i numeri primi mediante polinomi. Considerò le coppie (k, pk), formate da un intero e dal corrispondente numero primo, come coordinate e cercò il polinomio Pn di grado n – 1 che assumesse quei valori per i primi n interi, ossia il polinomio il cui grafico contenesse i primi n punti.

 

Dato che Pn(1) = 2, la somma dei coefficienti dei polinomi risultanti è sempre 2, ma che succede se i polinomi sono scritti nella forma di polinomi interpolanti di Lagrange a0 + (x – 1)(a1 + (x – 2)(a2 + (x – 3)(a3 + … )))?

 

La tabella seguente riporta i primi polinomi, messi in questa forma.

n

Pn(x)

1

2

2

2 + (x – 1)

3

Polinomio che interpola i primi 3 numeri primi

4

Polinomio che interpola i primi 4 numeri primi

5

Polinomio che interpola i primi 5 numeri primi

6

Polinomio che interpola i primi 6 numeri primi

7

Polinomio che interpola i primi 7 numeri primi

8

Polinomio che interpola i primi 7 numeri primi

9

Polinomio che interpola i primi 8 numeri primi

10

Polinomio che interpola i primi 9 numeri primi

 

La figura seguente mostra il grafico dei primi 6 polinomi.

 

Grafico dei primi 6 polinomi

 

 

Qualsiasi polinomio con coefficiente del termine di grado massimo positivo anche se interpola bene i numeri primi fino a un certo punto, cresce molto più rapidamente di pn: Pn(x) non fornisce approssimazioni accettabili per x > n + 1. Il grafico di P17 mostra come il polinomio abbia un’oscillazione intorno agli ultimi primi utilizzati per calcolarlo, per poi impennarsi, comportamento tipico di molti altri polinomi.

 

 Grafico di P(17)

 

 

Esaminando i coefficienti dei polinomi nella forma di Lagrange, si nota che il loro valore assoluto sembra diminuire rapidamente e la loro somma sembra convergere a un valore, come mostra la tabella seguente.

n

an

Somma dei coefficienti

0

2

2

1

1

3

2

Valore di a(2)

Somma dei coefficienti sino ad a(2)

3

Valore di a(3)

Somma dei coefficienti sino ad a(3)

4

Valore di a(4)

Somma dei coefficienti sino ad a(4)

5

Valore di a(5)

Somma dei coefficienti sino ad a(5)

6

Valore di a(6)

Somma dei coefficienti sino ad a(6)

7

Valore di a(7)

Somma dei coefficienti sino ad a(7)

8

Valore di a(8)

Somma dei coefficienti sino ad a(8)

9

Valore di a(9)

Somma dei coefficienti sino ad a(9)

10

Valore di a(10)

Somma dei coefficienti sino ad a(10)

11

Valore di a(11)

Somma dei coefficienti sino ad a(11)

12

Valore di a(12)

Somma dei coefficienti sino ad a(12)

13

Valore di a(13)

Somma dei coefficienti sino ad a(13)

14

Valore di a(14)

Somma dei coefficienti sino ad a(14)

15

Valore di a(15)

Somma dei coefficienti sino ad a(15)

16

Valore di a(16)

Somma dei coefficienti sino ad a(16)

17

Valore di a(17)

Somma dei coefficienti sino ad a(17)

18

Valore di a(18)

Somma dei coefficienti sino ad a(18)

19

Valore di a(19)

Somma dei coefficienti sino ad a(19)

20

Valore di a(20)

Somma dei coefficienti sino ad a(20)

 

Il valore al quale convergono le somme si chiama “costante di Magata”, anche se non è stato dimostrato che la somma converga. Il valore sembra essere vicino a 3.4070691656.

Qui trovate le prime 105 cifre decimali della costante di Magata (Robert G. Wilson V, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Alle voci espansione di Engel e frazioni continue si trovano ottime approssimazioni della costante.

Vedi anche

Primi (numeri).

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