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Madelung (costanti di)

Analisi  Geometria 

Le costanti di Madelung prendono il nome  dal fisico tedesco Erwin Madelung (Bonn, 18/5/1881 – Francoforte, 1/8/1972), che per primo affrontò il problema della determinazione del potenziale elettrico in un sale ionico. In un cristallo ionico varie proprietà dipendono dall’energia necessaria per estrarre uno ione e questa si può calcolare a partire dalla carica dello ione e dal potenziale elettrico nel punto in cui si trova.

 

Supponete di mettere in ogni punto del piano di coordinate intere (n, m), tranne l’origine, una carica uguale a (–1)n + m, ovvero di creare un reticolo a maglia quadrata di cariche positive e negative unitarie alternate a scacchiera: qual è il potenziale elettrico nell’origine? Sembra evidente che la risposta, a parte una costante che dipende dal sistema di unità di misura, si possa esprimere sommando il contributo di tutte le cariche come Formula per il potenziale nell'origine, tuttavia considerando la sottosequenza formata dai soli punti con m = n otteniamo Formula per il potenziale nell'origine, considerando solo le cariche nei punti con m = n, che è una serie divergente. La serie di partenza pertanto non è assolutamente convergente e l’ordine nel quale si calcolano le somme diviene importante.

Possiamo pensare di sommare in due modi abbastanza ovvi: considerando quadrati via via più grandi, centrati sull’origine, o cerchi di raggio crescente, sempre centrati sull’origine. Abbastanza sorprendentemente, considerando gli scherzi che le serie non assolutamente convergenti sono solite giocare, otteniamo lo stesso risultato: Formula per la costante di Madelung in due dimensioni.

La costante è chiamata “costante di Madelung del reticolo di cloruro di sodio bidimensionale” o “costante di Madelung bidimensionale”: rappresenta, infatti, il potenziale nell’origine di un cristallo piano a reticolo quadrato infinito di un sale ionico, supponendo unitaria la carica di ogni ione e la distanza tra due ioni adiacenti.

Alla voce espansione di Lehmer trovate ottime approssimazioni di –M2.

Qui trovate le prime 105 cifre decimali della costante di Madelung in due dimensioni (Benoit Cloitre, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

In una dimensione la costante è facile da calcolare: Formula per la costante di Madelung in una dimensione.

Alle voci espansione di Lehmer, frazioni continue e frazioni continue centrate trovate ottime approssimazioni di –M1.

Qui trovate le prime 101 cifre decimali della costante di Madelung in una dimensione (Benoit Cloitre, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Se esaminiamo un più realistico cristallo tridimensionale infinito, possiamo definire una costante analoga: Formula per la costante di Madelung in tre dimensioni, ma stavolta abbiamo una sgradita sorpresa, perché se sommiamo per sfere concentriche, otteniamo una somma divergente, come dimostrò O. Emersleben nel 1951. Sommando per cubi concentrici otteniamo invece un risultato finito: Formula per il calcolo della costante di Madelung in tre dimensioni (formula di Benson – Mackenzie, 1956).

 

La costante M3 si chiama “costante di Madelung del reticolo di cloruro di sodio tridimensionale” o semplicemente “costante di Madelung” e vale circa –1.7475645946.

 

Alle voci espansione di Engel, espansione di Lehmer, frazioni continue e frazioni continue centrate si trovano ottime approssimazioni di –M3.

Qui trovate le prime 1001 cifre decimali della costante di Madelung (Eric W. Weisstein, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org)

 

Una convergenza più rapida si ottiene da serie differenti, come:

  • Formula per il calcolo della costante di Madelung in tre dimensioni (A. Hautot, 1974);

  • Formula per il calcolo della costante di Madelung in tre dimensioni (R.E. Crandall, 1999);

  • Formula per il calcolo della costante di Madelung in tre dimensioni (S. Tyagi, 2004);

  • Formula per il calcolo della costante di Madelung in tre dimensioni (S. Tyagi, 2004);

  • Formula per il calcolo della costante di Madelung in tre dimensioni (S. Tyagi, 2004);

  • Formula per il calcolo della costante di Madelung in tre dimensioni (S. Tyagi, 2004).

Dall’ultima formula si hanno 10 cifre di precisione anche tralasciando la serie.

 

Altre serie che convergono alla stessa costante sono:

  • Formula per il calcolo della costante di Madelung in tre dimensioni;

  • Formula per il calcolo della costante di Madelung in tre dimensioni.

 

P.J. Forrester e M.L. Glasser dimostrarono che il potenziale nel punto (1 / 6, 1 / 6, 1 / 6) ha un’espressione straordinariamente semplice: Formula per il potenziale nel punto (1 / 6, 1 / 6, 1 / 6). Non si conoscono espressioni altrettanto semplici per alcun altro punto vicino all’origine.

 

Sono state anche esaminate costanti analoghe in spazi con un numero maggiore di dimensioni, interessanti da un punto di vista matematico, benché prive di senso fisico:

  • Formula per il calcolo della costante di Madelung in 4 dimensioni;

  • Formula per il calcolo della costante di Madelung in 6 dimensioni;

  • Formula per il calcolo della costante di Madelung in 8 dimensioni.

In generale Formula per il calcolo della costante di Madelung in n dimensioni e Formula per il calcolo della costante di Madelung in n dimensioni, dove rn(k); è il numero di modi di esprimere k come somma di n quadrati. Al crescere di n, Mn tende a Limite cui tende la costante di Madelung in n dimensioni.

Alla voce espansione di Lehmer trovate ottime approssimazioni di –M4, –M6 e –M8.

 

Se si toglie la radice quadrata dal denominatore si ottengono serie più semplici:

  • Formula per il calcolo di una costante simile alla costante di Madelung in una dimensione;

  • Formula per il calcolo di una costante simile alla costante di Madelung in due dimensioni;

  • Formula per il calcolo di una costante simile alla costante di Madelung in tre dimensioni;

  • Formula per il calcolo di una costante simile alla costante di Madelung in tre dimensioni.

Al crescere di n, Nn tende a –log(n).

 

Se le cariche sono disposte su una griglia esagonale, invece che quadrata, otteniamo la costante di Madelung per la griglia piana esagonale Formula per il calcolo della costante di Madelung per la griglia piana esagonale.

Anche in questo caso rimuovendo la radice quadrata dal denominatore il risultato si semplifica: Formula per il calcolo di una costante simile alla costante di Madelung per la griglia piana esagonale.

Bibliografia

  • Havil, Julian;  Gamma, Princeton, Princeton University Press, 2003 -

    Interessante fonte di informazioni sulla costante γ.

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