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Landau – Ramanujan (costante di)

Teoria dei numeri 

Edmund Georg Hermann Landau (Berlino, 14/2/1877 – Berlino, 19/2/1938) dimostrò nel 1908 che esiste il limite Limite dimostrato da Landau, dove B(n) è il numero di numeri naturali non superiori a n che possono essere espressi come somma di due quadrati, e in seguito Srinivasa Ramanujan (Erode, India, 22/12/1887 – Madras, ora Chennai, India, 26/4/1920) arrivò indipendentemente alla stessa dimostrazione per altra via.

 

Il limite, chiamato “costante di Landau – Ramanujan” e indicato con K, è uguale a Formule per il calcolo della costante di Landau – Ramanujan, dove il prodotto va calcolato su tutti e soli i primi della forma 4k + 3 (nel primo caso) o 4k + 1 (nel secondo caso).

Qui trovate le prime 10000 cifre decimali della costante (David E.G. Hare).

 

Landau e Ramanujan calcolarono le prime 3 cifre di K, poi la costante attrasse poco l’attenzione e venne ignorata sino al 1996, quando si accese l’entusiasmo: P. Flajolet ne calcolò 1000 cifre, poi V. Adamchik, J. Golden e W. Gosper 5100 nello stesso anno; P. Sebah arrivò a 30010 nel 2002 e David E.G. Hare a oltre 125000.

 

Alle voci espansione di Engel, espansione di Lehmer, frazioni continue e frazioni continue centrate trovate ottime approssimazioni della costante.

 

Shanks dimostrò nel 1964 che Formula per il calcolo della costante di Landau – Ramanujan, che converge molto più rapidamente degli altri due prodotti.

Strettamente legata a questa è la formula Formula per il calcolo della costante di Landau – Ramanujan, dove Formula per la definizione di Ψ(m).

 

S. Uchiyama scoprì nel 1971 due interessanti limiti legati alla costante: Limite legato alla costante di Landau – Ramanujan e Limite legato alla costante di Landau – Ramanujan. Moltiplicando i due limiti tra loro si ottiene il teorema di Mertens (v. costante di Mertens), mentre con semplici manipolazioni delle formule si ottengono i limiti: Limite legato alla costante di Landau – Ramanujan e Limite legato alla costante di Landau – Ramanujan.

 

Sono inoltre note altre relazioni tra la costante e prodotti infiniti di primi di alcune forme: Prodotto infinito legato alla costante di Landau – Ramanujan, Prodotto infinito legato alla costante di Landau – Ramanujan e Prodotto infinito legato alla costante di Landau – Ramanujan, dove C è la costante di Catalan.

 

Landau dimostrò anche una stima più precisa, ovvero che B(x) cresce come Stima asintotica per B(n) ossia che Formula per la definizione di K2, dove Formula per il calcolo di K2 (dove ω̃ è la costante della lemniscata) è talvolta chiamata “costante di Landau – Ramanujan del secondo ordine”.

La costante può anche essere espressa come Formula per il calcolo di K2.

Qui trovate le prime 68 cifre decimali della costante (Charles R. Greathouse IV, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

La tabella seguente mostra l’accordo tra B(n) e le stime (Eric W. Weisstein, Donovan Johnson, Ant King, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

n

B(n)

Stima asintotica per B(n)

Stima asintotica per B(n)

10

7

5.0363120495

5.7649102210

102

43

35.6121040234

36.5228517379

103

330

290.7716117476

293.4701234941

104

2749

2518.1560247275

2529.5403711583

105

24028

22523.0721969650

22581.3600506908

106

216341

205606.5784432527

205943.8924115732

107

1985459

1903547.0296822510

1905671.2226022874

108

18457847

17806052.0117054738

17820282.4447439988

109

173229058

167877068.3151640912

167977013.1946664891

1010

1637624156

1592621708.3628128203

1593350306.5343853009

1011

15570523346

15185052177.4434611600

15190526243.3455834780

1012

148736629005

145385805873.7877733900

145427970119.8278475000

 

Se modifichiamo la definizione, contando i numeri naturali BD(n) non superiori a n che possono essere espressi come ax2 + bxy + cy2, con D = b2 – 4ac non quadrato, Paul Bernays dimostrò nel 1912 che vale una formula analoga: Limite per BD(n), dove la costante K(D) dipende da D ed è sempre maggiore di zero. In particolare K(–4) = K è la costante di Landau – Ramanujan.

 

D. Shanks and L. Schmid mostrarono nel 1966 come calcolare il valore di K(–4a), che corrisponde al caso in cui si contino i numeri naturali che possono essere espressi come x2 + ay2; in particolare

  • Formula per K(–8);

  • Formula per K(–12);

  • Formula per K(–16).

Shanks e Schmid, sulla base del calcolo per vari valori di a, supposero che K(–8) fosse il massimo possibile valore, ma nel 2011 David Brink, Pieter Moree e Robert Osburn dimostrarono che non esiste limite al valore di K(D), e in particolare K(–4p) è illimitato se p è un primo della forma 4k + 1 e K(4p) è illimitato se p è un primo della forma 4k + 3. Non è però semplice trovare casi nei quali K(–4p) sia maggiore di K(–8), perché coinvolgono primi grandi; i tre matematici trovarono il caso K(–4 • 13779962790518414129) ≈ 0.875986 > K(–8); più facile il caso K(–p), con p primo, per il quale i tre trovarono l’esempio K(−984452999) ≈ 1.527855.

Non è noto se esista un limite inferiore per i valori di K(D).

 

Pieter Moree dimostrò nel 1973 che il numero N(n, a, b) di interi inferiori a n non divisibili per alcun primo congruente a b modulo a cresce secondo una formula analoga a quella di Landau e precisamente come Stima asintotica per N(n, a, b), dove le costanti Ca, b(k) sono analoghe alle costanti di Landau del secondo ordine e degli ordini successivi. Questo equivale al limite Limite dimostrato da Moree, analogo a quello di Landau.

Moree dimostrò che per ogni valore di n valgono le disuguaglianze: N(n, 3, 2) ≥ N(n, 3, 1), N(n, 4, 3) ≥ N(n, 3, 1), N(n, 3, 2) ≥ N(n, 4, 1) e N(n, 4, 3) ≥ N(n, 4, 1) e calcolò alcune delle costanti:

  • Formula per C(3, 1),

  • Formula per C(3, 2),

  • Formula per C(4, 1),

  • Formula per C(4, 3).

Vedi anche

Quadrati.

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